圆锥曲线中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

例1 过椭圆 1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线

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方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

8(2k2 k)

x1 x2 ， 2

4k 1

x1 x24(2k2 k)

2， 又M为AB的中点，所以

24k2 1

1

解得k ，

2

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1 x2 4，y1 y2 2，

又A、B两点在椭圆上，则x1 4y1 16，x2 4y2 16， 两式相减得(x1 x2) 4(y1 y2) 0，

2

2

2

2

2

2

2

2

y1 y2x x211

1 ，即kAB ，

x1 x24(y1 y2)22故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1），

所以

则另一个交点为B(4-x,2 y)，

x2 4y2 16因为A、B两点在椭圆上，所以有 ， 22

(4 x) 4(2 y) 16

两式相减得x 2y 4 0，

由于过A、B的直线只有一条，

故所求直线方程为x 2y 4 0。 二、求弦中点的轨迹方程问题

x2y2

1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。 例2 过椭圆

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解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），