随机微分方程在经济中的应用

法国版vvvvvvvvv

第26卷第10期2005年10月哈尔滨学院学报

JOURNALOFHARBINUNIVERSITYVol.26No.10Oct.2005

［文章编号］（2005）1004—585610—0113—02

随机微分方程在经济中的应用

姜秀英，李明哲

（哈尔滨学院数学与计算机学院，黑龙江哈尔滨

［摘断。

［关键词］随机变量；微分方程；概率；概率密度函数［中图分类号］O211.63

［文献标识码］A

150080）

要］文章把随机微分方程应用到社会经济领域中，分别给出了人口出生与死亡、产品推销的数

学模型。并通过对随机微分方程的求解和推演，结合具体的社会经济实际意义进行了分析、比较和推

在社会经济领域中，很多现象都具有随机性，如：人口的出生与死亡，产品的销售，市场价格等，在数学上称之为随机事件，这些随机事件虽然无法确定，但我们可根据大量的试验数据，确定某个随机变量，并附加初始条件，建立随机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规律，为优化经济管理提供可靠的依据。

的随机微分方程为由此可得关于P（Ht）dPH

=（H-1）PH-（+dH+1PH+（-（bH1t）1t）dt"

（2）+dH）P（Ht）

特别地，在假设2下方程为dPH

=（H-1）PH-（+#H+1PH+（-（"1t）1t）dt"）（3）+#HP（Ht）若初始时刻（t=0）的人口为确定数量H0，则P（的初始条件为Ht）

（4）

0H!H0

（3）式对于不同的H是一组逆推方程，在条件（4）下的求解过程非常复杂，这里只讨论数学期望和方差这两个指标，由定义

（t）E="HP（Ht）H=0

2（t）D="H2P（-E（t）Ht）H=0

一、人口出生与死亡模型

时刻t的人口用随机变量X（t）表示，（t）X

只取整数，记P（为X（t）=H的概率，H=0，1，Ht）…，对人口在t到t+!t的出生和死亡作如下2，假设：

分1.出生与死亡一人的概率与!t成正比，

别记为bH!t，出生与死亡二人及以上的概dH!t，（!t），是!t的高阶无穷小量。率为O

记为bH="2.设bH与dH均与H成正式，H，

、dH=#H，"#分别是单位时间内一个人出生和死亡的概率。

根据全概率公式有P（t）=Ht+!

PH-（bH-1!t+PH+（dH+1!t+1t）1t）（1-bH!t-dH!t）（!t）P（+OHt）

（1）

P（=H0）

{

1

H=H0

对E（t）求导，再用方程（3）代入得

（t） dP（dEHt）

="HdtdtH=0

［收稿日期］2005-01-25

［作者简介］姜秀英（1957-），女，哈尔滨人，副教授，主要从事经济应用数学研究；李明哲（1971-），女，哈尔滨

人，副教授，主要从事应用数学研究。