常微分方程在数学建模中的应用 (3)

2011年第12期

第27卷（总264期）

吉林省教育学院学报

JOURNALOFEDUCATIONALINSTITUTEOFJILINPROVINCE

No.12，2011

Vol.27TotalNo.264

常微分方程在数学建模中的应用

杨

12颖，刘喜波

（1.吉林师范大学数学学院，吉林四平136000；2.长春汽车经济技术开发区第六中学，吉林长春130000）

摘要：本文说明了微分方程和数学建模二者之间的联系，并通过几个典型的例子来体现微分方程在数学建模中的应用。关键词：常微分方程；数学模型；数学建模中图分类号：O1

文献标识码：A

文章编号：1671—1580（2011）12—0139—02

一、引言

对于数学，特别是对于数学的应用，微分方程所具有的重大意义主要在于：很多物理问题与技术问题的研究可以化归为这类方程的求解问题．电子计算机及无线电装置的计算，弹道的计算，飞机在飞行中稳定性的研究，或者化学反应过程的稳定性的研究，所有这些都可以化为微分方程求解的问题来进行。

数学建模的过程就是“实践—理论—实践”的过程。而这个过程又是极其复杂的，需要我们具备较强的认知能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、数值计算与数据处理能力等。而今，数学建模已经成为数学理论和实际问题的桥梁，科学技术转化的主要途径。数学模型可以按照不同的方法进行划分，如果按照建立的方法进行分类，可分为：初等模型、数学规划模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。微分方程模型就是在数学建模中融入了微分方程理论，也包括常微分方程理论的融入。例如传染病模型、人口预测模型、经济增长模型、新产品推广模型等，这些模型帮助人类解决了很多复杂的实际问题，成为一种极有效的数学手段。

二、常微分方程在数学建模中的应用

微分方程理论在17世纪末开始发展起来，差不多是与微分与积分的计算同时产生的。三百年前，牛顿和莱布尼兹发明了微积分，同时也开始了常微分方程的研究。现在我们用的微积分记号，便是莱

布尼兹创造的；而最初将微积分应用于解决行星运动和月球运动的，则归功于牛顿。现在微分方程已经成为研究自然现象的强有力的工具，在力学、天文学、物理学及技术科学中借助于微分方程已经取得了巨大的成就。牛顿研究天体运动的微分方程，从理论上得到行星运动规律，而这些规律原来只是由便有数学开普勒实验中得到。微分方程一旦产生，家对它们的求解作系统地研究。十七世纪末和整个十八世纪对常微分方程的研究，便是寻求实域中各类型的方程的有明显表达形式的通解。十九世纪初期，法国数学家柯西建立了现代分析概念，并引入了复数域，数学得到了一次划时代的发展。柯西将这一概念运用到微分方程，开创了常微分方程的解析理论这一分支。刘维尔在这一领域也作出了杰出的贡献。常微分方程不断受到提出的实际问题的挑战，同时，也不断创造新的理论和开拓新的领域。最初是三体问题的挑战，研究日、地、月互相吸引。到今天为止，仍然是一个理论上的挑战。虽然还不能正面解决，但是却带动出“动力系统”这一新的分支。例如，人们可以不经积分证明：如果只考虑日、地、月三体，则可以断定，以后月球不会由地球的卫星变成太阳的行星，这是非常有趣的定性结论。计算机的出现，对于常微分方程是一个极大的促进。首先，欧拉折线法近似求解常微分方程已经有了工具。例如，登月轨道的选取。另外，利用计算机可以进行准确的公式推导的工作，典型的例子是，利用计

收稿日期：2011—05—25

作者简介：杨颖（1980—），女，吉林白城人，吉林师范大学数学学院，讲师，硕士。研究方向：数学建模。

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