倒向随机微分方程的理论、发展及其应用

应用数学

ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＡＰＰＬＩＣＡＴＡ

２００２．１５ｌ２）：９～１３

倒向随机微分方程的理论、发展及其应用

周少甫１，黄志远２，张子刚３

（１．华中科技大学经济学院，湖北武汉４３００７４；２．华中科技大学数学系，湖北武汉４３００７４；３

华中科技大学管理学院；湖北武汉４３００７４）

摘要：本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用及研究现状，介绍了

作者博士论文的主要Ｉ作．

关键词：金融数学；倒向随机微分方程；随机微分效用；正一倒向随机微分方程

中圈分类号：０２１１．６３

文献标识码：ＡＡＭＳ（２０００）主题分类：６０Ｈ３０文章编号：１００１—９８４７（２００２）０２—０００９—０５

一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于ＨａｒｒｙＭａｒｋｏｗｉｔｚ［１］在

１９５２年的开创性工作，他为现代有价证券的组合理论奠定了基础，他的理论引发了所谓的第

一次“华尔街革命”．许多学者进一步发展了他的理论．下一步重要的发展是】９６４年Ｓｈａｒｐｅ

Ｅ２３和１９６５年Ｌｉｎｍｅｒ［３］提出的资本资产定价模型（ＣＡＰＭ）及１９７６年Ｒｏｓｓ［４］把ＣＡＰＭ模

型扩展成套利定价模型（ＡＰＴ）．１９７３年，ＦｉｓｈｅｒＢｌａｃｋ和ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅ［５］发展了“期权及公

司债务的定价”，提出了第一个完整的期权定价模型．同一年，ＲｏｂｅｒｔＭｅｒｔｏｎ［６］发表了“计算

期权合理价格的理论”．这些里程碑式的成果，引发了第二次“华尔街革命”，在理论和实践中都

有特别重要的意义．ＦｉｓｈｅｒＢｌａｃｋ和ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅ的期权定价模型提出之后，金融数学以前所

未有的的速度发展．许多现代的数学工具，如随机微积分Ｅ７，８，９２，鞅方法，凸分析［１０］，随机最

优控制，多元统计分析，数学规划［１１，１２３，现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作

用．许多经济学家和数学家都为金融数学的发展作出了贡献．他们中的佼佼者不少已先后获得

了诺贝尔经济学奖。金融数学的发展，也促进了一类新的随机微分方程理论——倒向随机微

分方程的出现，发展和逐步完善．

倒向随机微分方程理论研究的历史较短，但进展却很迅速，除了其理论本身所具有的有趣

数学性质之外，还发现了重要的应用前景．１９７３年，法国数学家Ｂｉｓｍｕｔ［１３］在研究随机最优控

制时，研究了线性ＢＳＤＥ的适应解。而一般形式的非线性倒向随机微分方程：

ｆｄＸ（ｃ）ｘ６（ｔ，Ｘ（ｔ）ｄｔ＋口（ｔ，Ｘ）ｄＷ（ｔ），

ＩＸ（Ｔ）一ｘ，ｏ≤ｒ≤Ｌ‘‘１’

实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反向问题，即终值问题，在金融理论中，递归效用，微分

收稿日期：２００１—１２—０５

基金项目：国家自然科学基金项目（７００７１０１１）

作者简介：周步甫（１９６３－）．男．汉，华中科技大学管理学院博士后＋副教授，研究方向：随机过稃