常微分方程在数学建模中的应用 (1)

2010年12月号

学术论坛

前沿

常微分方程在数学建模中的应用

浙江省宁波市宁波大红鹰学院

郑

英

[摘要]本文通过查阅近十几年来发表的文献资料以及一些参考书目，对常微分方程在数学建模中的应用进行研究。本文首先介绍了常微分方程的发展，然后介绍了数学建模，接着介绍了二者相互结合的特点，后来又在不同的领域介绍了相关的具体例子，最后总结了常微分方程在数学建模的应用以及今后在学习过程中应该注意的问题。[关键词]数学建模常微分方程

一、常微分方程的发展和数学建模

在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等。然而方程并不能解决所有的实际问题。因此，要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。也就是说凡是这类问题不是简单的一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或几个未知的函数。

令人欣慰的是，这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处。我们可以把问题中已知数和未知数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得函数的表达。但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，我们所研究的问题和初等数学依然存在的很多不同的地方。为了解决这类问题，从而产生了微分方程。在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程。

数学建模即是对实际问题中的复杂现象进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将这个实际问题化成一个数学问题，并运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程。数学建模的基本过程可用流程图简单表示如图l：

图1数学建模的基本过程

二、常微分方程和数学建模结合的特点

事物是变化发展的，因而实际对象的某些特性会随时间而演变，而且这一演变过程具有某些规律性，因此我们可以预测它未来的状态，进而找到控制它的手段，通常要建立对象的动态模型.针对不同的实际对象进行数学建模时，首先要根据建模目的和对具体的问题分析做出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方

程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。

数学建模本身就是一个创造性的思维过程，它是分析问题、解决问题的思维过程，数学建模的内容来自于实际、方法结合于实际、结果应用于实际，要选准切入点，争取和常微分方程的内容有机结合，体现数学建模的思想。数学建模思想的培养是一个长期的任务，不可能立竿见影，需要我们踏踏实实的钻研和工作，数学建模能力和纯粹数学的能力是不一样的，它需要不断地锻炼和培养。利用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，虽然它的推导过程稍显繁琐，但是其结果却相当简明，可以给出合理的解释。因此，我认为把常微分方程和数学建模有机的结合起来能够让常微分方程更好的发挥其作用，解决更多的实际问题.

三、常微分方程在数学建模中的应用

当解决一些实际问题的时候，通常要建立研究对象的数学模型。建立数学模型时首先要根据建立数学模型的目的和对问题的具体分析做出相应的简化和假设，然后按照规律列出微分方程，求出方程的解，并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。下面就通过几个不同领域的例子来说明常微分方程在数学建模中的应用。

1.新产品推广模型。在经济学和管理科学中,我们常常研究有关经济变量的变化、增长、边际等问题,通常我们可以结合实际，从而建立微分方程模型.找出经济变量的变化规律并做出相应的决策和预测。常见的数学模型主要包括新产品的推广模型、价格调整模型和人才分配模型。下面我们来介绍新产品推广模型。

设有某种新产品要推向市场,t时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品。因此,t时刻产品销

量的增dt/dx与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明,dt/dx与尚未购买该产品的顾客潜在

的销售数量N-x(t)也成正比，于是有dx/dt=kx(N-x)

(3.1)其中常数k>0为比例系数。分离变量、积分，

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