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2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何
1. 已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）. （Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P 、F1'、F2'，求以F1'、F2'为焦点且过点P 的双
曲线的标准方程.
x2y2
解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为2+2 1(a b 0)，其半焦距c 6。
ab
2a |PF1| |PF2| 2 22 2 22 6， ∴a 3，
x2y2
b a c 45 36 9，故所求椭圆的标准方程为 1； +
459
2
2
2
（II）点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
P (2,5)、F1'（0，-6）、F2'（0，6）
设所求双曲线的标准方程为
x2a1
2
-
y2b1
2
1(a1 0,b1 0)，由题意知半焦距c1 6，
2a1 |P'F1'| |P'F2'| 2 22 2 22 4， ∴a1 2，
y2x2
1。 -b1 c1 a1 36 20 16，故所求双曲线的标准方程为
2016
2
2
2
2. 直线l:y kx 1与双曲线C:2x2 y2 1的右支交于不同的两点A、B. （Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）将直线l的方程y kx 1代入双曲线C的方程2x y 1后,整理得
2
2
(k2 2)x2 2kx 2 0.……①
k2 2 0,
22
(2k) 8(k 2) 0,
22k 0
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 k 2
2
0. 2
k 2
解得k的取值范围是 2 k 2.
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则由①式得
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