同济大学《高等数学第五版》习题答案[1]

习题1.1

1. 设A=(.∞, .5)∪(5, +∞), B=[.10, 3), 写出A∪B, A∩B, A\B及A\(A\B)的表达式.

解 A∪B=(.∞, 3)∪(5, +∞),

A∩B=[.10, .5),

A\B=(.∞, .10)∪(5, +∞),

A\(A\B)=[.10, .5).

2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC ∪B C .

证明 因为

x∈(A∩B)C.x.A∩B. x.A或x.B. x∈AC或x∈B C . x∈AC ∪B C,

所以 (A∩B)C=AC ∪B C .

3. 设映射f : X →Y, A.X, B.X . 证明

(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);

(2)f(A∩B).f(A)∩f(B).

证明 因为

y∈f(A∪B)..x∈A∪B, 使f(x)=y

.(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)

. y∈ f(A)∪f(B),

所以 f(A∪B)=f(A)∪f(B).

(2)因为

y∈f(A∩B). .x∈A∩B, 使f(x)=y.(因为x∈A且x∈B) y∈f(A)且y∈f(B). y∈ f(A)∩f(B),

所以 f(A∩B).f(A)∩f(B).

4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使, , 其中IXIfg=..YIgf=..X、IY分别是X、
Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g
是f的逆映射: g=f .1.

证明 因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某
元素的像, 所以f为X到Y的满射.

又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) .g[ f(x1)]=g[f(x2)] . x1=x2.

因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.

对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的
定义, g是f的逆映射.

5. 设映射f : X→Y, A.X . 证明:

(1)f .1(f(A)).A;

(2)当f是单射时, 有f .1(f(A))=A .


证明 (1)因为x∈A . f(x)=y∈f(A) . f .1(y)=x∈f .1(f(A)),

所以 f .1(f(A)).A.

(2)由(1)知f .1(f(A)).A.

另一方面, 对于任意的x∈f .1(f(A)).存在y∈f(A), 使f .1(y)=x.f(x)=y . 因为y∈f(A)且f是单
射, 所以x∈A. 这就证明了f .1(f(A)).A. 因此f .1(f(A))=A .

6. 求下列函数的自然定义域:

(1)23+=xy;

解 由3x+2≥0得
32.>x. 函数的定义域为) ,32[∞+..

(2)211xy.
=;

解 由1.x2≠0得x≠±1. 函数的定义域为(.∞, .1)∪(.1, 1)∪(1, +∞).

(3)211xxy..=;

解 由x≠0且1.x2≥0得函数的定义域D=[.1, 0)∪(0, 1].

(4)
241xy.
=;

解 由4.x2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(.2, 2).

(5)xysin=;

解 由x≥0得函数的定义D=[0, +∞).

(6) y=tan(x+1);

解 由
21π≠+x(k=0, ±1, ±2, . . .)得函数的定义域为 12.+≠
ππkx(k=0, ±1, ±2, . . .).

(7) y=arcsin(x.3);

解 由|x.3|≤1得函数的定义域D=[2, 4].

(8)
xxy1arctan3+.=;

解 由3.x≥0且x≠0得函数的定义域D=(.∞, 0)∪(0, 3).

(9) y=ln(x+1);

解 由x+1>0得函数的定义域D=(.1, +∞).

(10)xey1=.

解 由x≠0得函数的定义域D=(.∞, 0)∪(0, +∞).

7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？


(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;

(2)