从一道课本习题谈异面直线距离的求法

对于异面直线的距离,如果给出公垂线段,通过求向量的模或解三角形,总可求出公垂线段的长,即异面直线的距离,如果未给出公垂线段,有时做起来就显得有些难度。课本上就有这么一道题(见人教版高中数学第二册下B习题9.4第4题)：下面就以这道题目为例谈谈异面直线距离的求法,题目如下：

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中学教研 (学)数

20 06年第 9期

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耋从 一道课题谈异本习面直线距离的 奏求法 蠢 满 (宁第中 4s商仓甘县一学7o肃 5) 2耋 曩方与巧..-方莹技 . .曩法技巧. .方与技 .-方法巧. .法巧..-方叠巧. .方法技莹技 .一与巧 .-方与 .|法巧. .曩■与技 .-曩方与拄 .曩与簋 .-一与

对于异面直线的距离，如果给出公垂线段，过通求向量的模或解三角形，总可求出公垂线段的长即

于直线 A C与 .的距离.连结 B . ..分别交 D BD, A,.. 0 0,然 AC上面船 . .,以面 C AC于， .显 .. DD所 A C D上面 B D D,面 A C DN面 B I D=D I II BI I且 lI B DI O. 作 0 P上D I P, O L面 O于则 P-

异面直线的距离.如果未给出公垂线段，有时做起来就显得有些难度.本上就有这么一道题(课见人教版

高中数学第二册下 B习题 94 .第题)下面就以这 AcD所以： tt, 豢塞线A和^ c。 道题目为例谈谈异面直线距离的求法.目如下：题 平面 A CD的公垂线段. .. 连结 O .在 R ADO . 0, t 0中， 0:l O , O l, D: _ . .

^ 图2 J

oP: 一

,

●

即所求鹾离为 B . D,D, B A 1 D, A .则 D,D分 B别为 B . D在平面 A C和平面 D. A内的射影. ‘’

图1

3求两个平行平面的距离

两条异面直线的距离等于分别过这两条直线且 互相平行的两个平面的距离。因此可转化为求两个

.

AC￣B, Al D D上 I, I AC上B, DI DAI上B . DI

‘ . .

记 A N D=, D .中点，结 D, C B 0取 D的连 则 1

∥ .肋，且=÷肋 . .再连结A ., 交于F在 ‘

A O A E中， F作 F/ O过 G/ E交 O A于 C则 F, G为异 ’ 一

面直线 A C与 D . A的公垂线段。且 c÷ o = E=

÷肋.求 D=,得B.易 .J

{

故

F:, G 即所求异面直线的距离为 2求线面距离

圃一一

两条异面直线的距离，于其中一条直线到过等另一条直线且平行于这条直线的平面的距离.本课上有这个结论.此可将异面直线的距离转化为直据 线和与它平行的平面的距离. ,

简解 2如图 2连结 A C, AC/4,以， ..则 .。 C所 /

A/面 A CD所以直线 A C/。., C与面 A CD的距离就等 ..