当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高中教育 > 数学 > 高三数学 > 第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案
2009年第50届IMO解答
2009年7月15日
1、n是一个正整数，a1,a2,...,ak(k≥2)是{1,2,...,n}中的不同整数，并且nai(ai+1 1)对于所有i=1,2,...,k 1都成立，证明：ak(a1 1)不能被n整除。
证明1：由于na1(a2 1)，令(n,a1)=p，q=
n
也是整数，则n=pq，并且pa1，p
qa2 1。因此(q,a2)=1，由于n=pqa2(a3 1)，故qa3 1；同理可得qa4 1，。。。，
因此对于任意i≥2都有qai 1，特别的有qak 1，由于pa1，故n=pqa1(ak 1)(*)。
若结论不成立，则n=pqak(a1 1)，与(*)相减可得n(ak a1)，矛盾。 综上所述，结论成立。
此题平均得分：4.804分
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