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高一数学竞赛辅导材料 空间角和距离
一 方法指要 1. 二面角的求法:
(1)定义法:作出二面角的平面角.常用作法有:三垂线定理法,辅助垂面法,
平移法等.
(2)面积射影定理:设平面 内面积为S的某一平面图形在另一平面 内的
射影的面积为S则平面 与平面 夹角满足cos
'
SS
'
(3)异面直线上两点间距离公式法:EF d2 m2 n2 2mncos ,其中
E,F分别为二面角两个面上的点, E,F到棱的距离分别为m,n,d是E,F在棱上射影间的距离, 是二面角的度数 2. 异面直线距离的求法
(1)定义法:作出异面直线的公垂线段
(2)线面平行法:已知异面直线a,b,若a平行于b所在的平面 ,则 a与
距离就是a与b的距离
(3)线面垂直法:已知异面直线a,b,若a垂直与b所在平面 ,则垂足到直
线的距离就是a与b的距离.
(4)体积法:把异面直线的距离转化为求某类几何体的高,借助与体积相等
来建立方程来求高.
(5)最值法:根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小
值,利用求极值的方法. (6)异面直线上两点间距离公式法EF d2 m2 n2 2mncos 3. 空间点到平面(线面距离,面面距离)的距离的求法: (1)直接过点作平面的垂线 (2)体积法
注:无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类:一类是直接法,即作出所求的角和距离;另一类是转化法. 二 题型示例 1.选择题
(1)如图正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上使得
AEEB
CFFD
( 0),记f( ) ,其中
表示EF与AC所成的角
A
表示EF与BD所成的角,则
(A)f( )在(0, )单调增加 (B) f( )在(0, )单调减少 (C) f( )在(0,1)单调增加f( )在(1, )单调减少 (D) f( )在(0, )为一常数.
F
D
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