高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法

高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法

难点 6 函数值域及求法

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求 值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. 

●难点磁场 

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). m - 1 

(1)证明：当 m∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数x 都有意义， 则 m∈M. 

(2)当m∈M 时，求函数 f(x)的最小值. 

(3)求证：对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1. ●案例探究

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［例 1］ 设计一幅宣传画， 要求画面面积为 4840 cm ,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面 的上、下各留 8 cm的空白，左右各留 5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传

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画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［,］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积

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最小？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识 解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 

知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识. 

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错解分析：证明S(λ)在区间［,］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化

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为函数的最值问题来解决. 

技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问 题来解决. 

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解： 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2  =4840,设纸张面积为S cm ,则S=(x+16)(λx+10)= 

(★★★★★)设m 是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2  －4mx+4m2  +mλx2  +(16λ+10)x+160,将x=5 5 

代入上式得：S (8l +),当 8l =, l l  

5 54840 5 

即λ(<1)时 S取得最小值.此时高：x==88 cm,宽：λx×88=55 cm. 

8 8 l 8 

2 32 3 

如果λ∈［,］可设≤λ1<λ2≤,则由 S 的表达式得： 

3 4 3 4 S ( l1 ) -S ( l ( l 2 ) = 1 = l 8 1 l 2 )( 

5 

5 

l 1 

- l 2 -

5 

l 2 

) 

l l 1 2 

2 5 5

又l l ≥> ,故 8－>0, 1 2 

3 8 l1  l 2 

2 3

∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［,］内单调递增.　

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