函数与方程的思想

高中数学知识点

函数与方程的思想

数学思想方法是数学的精髓，是数学知识，数学能力，数学素质，数学本质的高层次体现，他体现了数学的学科特点。从1997年开始，把数学思想方法正式列入«考试说明»之中，并在近几年高考中加强了考查。因此，在高考复习的第二阶段，要加强数学思想方法的训练，不能停留在解题的一招一势上，而要在整体上宏观上审视数学问题和方法，总结规律，提炼思想，并领会实质，自觉运用，从而形成良好的数学素养，进入到一个较高层次。

（一）函数思想

函数的思想,是指对一个数学问题,构造出一个相应的函数,用函数的有关性质去分析问题,进而解决问题.

1 2x 4xa 例1 设f(x) lg,其中a R,如果当x ( ,1]时, f(x)有意义,求3

a的取值范围.

xx 解:可知1 2 4a 0,即a [() ()]当x ( ,1]时恒成立,而()、()1

4x1

2x1

4x1

2x都是减函数，则g(x) [() ()]在( ,1]上是增函数，故x 1时g(x)取得最大值是g(1) ( ) 14x12x1

41233，从而得a的取值范围是a 。 44

说明：本例采用分离参数(a)法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷。

例2 设a,b R，且(a 1) 2002(a 1) 1,(b 1) 2002(b 1) 1求a b的值。 解：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数f(x) x 2002x，则由两式有333

f(a 1) f(b 1)。又易知f(x)是奇函数，则有f(a 1) f(1 b)但f(x)在R上是增函数，故有a 1 1 b，从而有a b 2。

说明：本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法太妙了。

例3 设不等式2x 1 a(x2 1)对满足a 2的一切实数a恒成立，求实数x的取值范围。 解：本题若视为关于x的不等式，再分类讨论，十分麻烦，现改变视角，视不等式为关

2于a的不等式，即f(a) (x 1)a (2x 1) 0在a [ 2,2]时恒成立，而f(a)的图象是

0, f( 2)一条线段，要使f(a) 0，只要使 即 f(2) 0,

而解得x 2 2(x 1) (2x 1) 0, 从

22(x 1) (2x 1) 0. 。