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说明：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象特征（一条线段），解法易懂易做。 例4
求证(1 1)(1 ) (1 1
41) n N) 3n 2
略证：只要证f(n) (1 1)(1 ) (1 1
41 1。
3n 2由f(n 1) f(n)(1 1 1知f(n)是递增的。
又f(1) 1，故有f(n) f(1) 1，从而命题得证。 说明：本例对数列型不等式，一改数学归纳法的传统证法，巧构单调函数（数列），妙证不等式。这种证法的一般步骤如下：
要证f(n) g(n)，可构造h(n) f(n) g(n),来证h(n)是增函数，且h(1) 0.。 或构造h(n) f(n)来证h(n)是增函数，且h(1) 1（其中g(n) 0）。 g(n)
（二）方程思想
方程的思想，就是数学问题中的各字母从数量关系分析入手，转化为确定各字母的值，或各字母间的相等或不等关系，即方程或不等式关系，然后通过解方程（不等式），或利用方程、不等式的有关定理性质，使问题得到解决。
例5 是否存在常数a,b,c使得an an2 bn c，是满足a1 1,3Sn (n 2)an对一切自然数n都成立？并说明理由。
解：可视a,b,c是未知数，设法建立关于a,b,c的三个方程。在 3Sn (n 2)an中，分别令n 2,3，可得 3(a1 a2) 4a2 a2 3 3(a1 a2 a3) 5a3 a3 6
a1 1 a b c 111 再由 a2 3 4a 2b c 3 a ,b ,c 0. 22 a 6 9a 3b c 6 3
故猜想an 121n n. 22
再由数学归纳法证明，这里从略。 例6 设a,b R,且ab a b 3,求ab的最小值。
解：由ab a
b 3 3，
得ab 3 0。
视为未知数，
记
。 t(t 0),由方程t2 2t 3 0,解出t 3或t 1（舍）
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