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§ 2.4 数学期望的定义及性质
我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这个随机变量的统计规律,但在许多实际总是中,这样的全面描述有时并不使人感到方便.举例来说,已知在一个同一品种的母鸡群中,一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只要比较这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只看它们的分布列，虽然全面，去合人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地作出判断.这样的例子可以举出很多:例如要比较不同班级的学习成绩,通常就比较考试中的平均成绩;要比较不同地区的粮食收成,一般也只要比较平均亩产量等.既然平均值这么有用,那是值得花力气来研究一番的.
例 2.13 (略) 见P79
例 2.14 若随机变量 服从二项分布b(k;n,p),试求它的数学期望E 解 这时
n kn k
Pk P( k) pq,0 k n
k
所以
n
E
k 0
k Pk
n kn kk k pq k 0
n
n 1 k 1(n 1) (k 1)
nP pq
k 0 k 1
n
nP(p q)
n 1
np (2.22)
例 2.15 (略)P80
定义2.5 若离散型随机变量 可能取值为ai(i 1,2, ),其分布列为Pi(i 1,2, ),则当
|a
i 1
i
|pi (2.24)
时,称 存在数学期望,并且数学期望为
E
a
i 1
i
pi (2.25)
如果
|a
i 1
i
|pi
则称 的数学期望不存在.
对于这个定义,读者也许会问,既然数学期望E
a
i 1
i
pi,那么只要 aipi收剑就可
i 1
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