现代数学选讲论文

现代数学发展

在我们的生活中，数学与我们息息相关 我们玩的华容道、九连环、七巧板以及魔方等，其中无不蕴含了深奥的数学原理。数学的发展就是人类生活的进步.

数学是一门基础学科,其中现代数学在生活中有着广泛应用.

纯粹数学领域中的集合论观点和公理化方法的运用极大地推动了纯粹数学向更高的抽象化发展。

20世纪初，康托尔创立的集合论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，例如，它可以是任意性质的元素集合，诸如函数的集合、曲线的集合等．集合论作为一种语言被应用于数学的不同领域，同时引起了数学中基本概念的深刻变革，从而导致新的数学分支的建立，实变函数和泛函分析即是明显的例子。

法国数学家勒贝格利用以集合论为基础的“测度”概念而建立了与柯西和黎曼积分不同的“勒贝格积分”．在勒贝格积分的基础上，进一步推广导数等微积分基本概念，进而重建了如微积分基本定理等微积分中的基本事实，从而形成了新的数学分支——实变函数论；受集合论的影响，空间和函数这两个基本概念发生了进一步的变革，空间被理解为某种约束某类元素关系的空间结构的集合，即空间是某种结构的集合，而函数的概念则被推广为两个空间(包括一个空间到它自身)之间的元素的对应(映射)关系，其中将函数映为实数的对应关系就是通常所称的“泛函”。实变函数和泛函分析成为现代分析学的两大支柱。 在20世纪公理化方法向各个数学领域渗透。抽象代数是应用公理化方法把代数理论进行抽象化的杰出成就．代数学中公理化方法的系统运用是在希尔伯特关于几何基础的工作出现之后，受希尔伯特的直接影响，诺特及其学派确立了公理化方法在代数领域中的地位，诺特在一篇论文中用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环的理论基础，它是现代抽象代数开始的标志．抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。

随着集合论在数学各领域中的渗透和应用，它逐渐成为数学理论的坚实基础，但随后罗素悖论的出现打破了人们对集合论作为数学基础的信任，引起了关于数学基础的一系列问题。例如：(1)如何解决已发现的悖论并进一步保证在公理系统中不出现悖论。(2)如何理解“数学的存在”。(3)有无实无限，如何理解实无限。(4)数学的基础是什么。

对这些问题的不同回答，形成了数学基础中的各种学派。其中3个学派——逻辑主义、直觉主义和形式主义，对后来数学基础的发展产生了较大的影响．对这些学派的基本观点将在后面内容中详细介绍，这里不予赘述。三大学派在20世纪前30年间非常活跃，相互争论非常激烈。现在看来，这三大学派都未能对数学基础问题做出令人满意的解答。但他们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度。并促使数学基础作为一门数学分支学科得到前所未有的发展，其中最重要的方向就是数理逻辑。三大学派在基础问题上积累的深刻的结果，都被纳入数理逻辑研究的范畴而极大地推动了现代数理逻辑的形成与发展。20纪以来，不同学科的相互渗透、结合更为广泛．不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合 导

致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。