高中数学培养运算能力的培养

2 cosx (x ∈R)的最值. 2 cosx

2 cosx【解析】∵y = ∴ 2y – ycosx = 2 + cosx, 2 cosx例 求函数y =

∴ cosx = 2y 2 .又∵ cosx≤1 y 1

∴2y 2 1 ∴ 2y 2 y y 1

222∴ (2y-2)≤(y+1), 3y – 10y + 3≤0

1 y 3 3

1 ∴ ymin = ymax = 3 3解得

本题对函数解析式的变形要熟练，函数的有界性准确把握，变形过程合理、简捷。

（2）能根据问题的需要灵活自如地变换运算的方法.

22 已知实数x, y满足方程x + y – 4x+1=0. ⑴求y的最大值和最小值. x

⑵求y -x的最小值.

22⑶求x+y的最大值和最小值

22【解析】⑴方程x + y – 4x+1=0.表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆。

设y=k,即 y = kx,由圆心（2，0）到直线 y = kx x

的距离为半径时直线与圆相切，

斜率取得最大值、最小值。

由点到直线的距离公式得

2k 0

k2 1

所以 kmax= 解得k2 =3 ,kmin= -。

⑵设y – x = b ,则 y = x + b , 仅当直线y = x + b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取得最小值。由点到直线的距离公式，得2 0 b

2 , 即b 2

故 (y –x )min = -2 -

2 2 。 ⑶ x+ y 是圆上点与原点距离的平方，故连接oc，与圆交于B点，本延长交圆于D，

则 ( x+ y )max = OD

2 22 7 4