微分中值定理教案

已经整理,可以直接打印

§3 1 中值定理

一、罗尔定理

一、罗尔定理

y

⌒

首先，观察图1. 设曲线弧AB 是函数y f(x)(x a,b )的图形. 这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且两 个端点的纵坐标相等，即f(a) f(b)．可以发现曲线的最高点或最低 点C处, 曲线有水平的切线. 如果记C点的横坐标为 ，那么就有f

( ) 0现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat）引理.

图1

费马（Fermat）引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x U(x0)，

有 f(x) f(x0) （或f(x) f(x0)）， 那么f (x0) 0.

证明 不妨设x U(x0)时，f(x) f(x0) （如果f(x) f(x0)，可以类似地证明）.于是，对于x0 x U(x0),

有 f(x0 x) f(x0)， 从而当 x 0时，

f(x0 x) f(x0)

0；

x

当 x 0时，

f(x0 x) f(x0)

0.

x

根据函数f(x)在x0可导的条件及极限的保号性，便得到

(x0) lim f (x0) f

x 0

f(x0 x) f(x0)f(x0 x) f(x0)

0. 0， f (x0) f -(x0) lim

x 0 x x

所以，f (x0) 0.证毕. （通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点））

罗尔定理 如果函数y f(x)在闭区间[a, b]上连续 在开区间(a, b)内可导 且有f(a) f(b) 那么在(a, b)内至少在

一点 使得f ( ) 0

证明 由于f(x)在闭区间 a,b 上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在闭区间 a,b 上

必定取得它的最大值M和最小值m．这样,只有两种可能情形：

(1)M＝m．这时f(x)在区间 a,b 上必然取相同的数值M：f(x)＝M．由此， x (a,b),有f (x) 0.因此，任取 (a,b)，有f ( ) 0．

(2)M＞m．因为f(a) f(b)，，所以M和m这两个数中至少有—个不等于f(x)在区间 a,b 的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M f(a)(如果设m f(a)，证达完全类似)．那末必定在开区间(a,b) 内有一点 使f( ) M．因此， x a,b ，有f(x) f( )，从而由费马引理可知f ( ) 0.定理证毕. 注 证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理.