高等数学教案提纲

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Chapter 11 Infinite Series
　　我们都知道，高等数学的研究对象是函数。到现在为止，我们已经学习了高等数学的主要内容：极限理论和微积分学。这一章所要讨论的无穷级数理论，则是更进一步地表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，它对于微积分学的进一步发展是非常重要的。实际上我们已经知道，导数是一个比值的极限、定积分是一个和式的极限，因此，我们说极限思想贯穿于微积分学的始终，而这一章将提供给我们的是一种"函数逼近"的思想方法。我曾经和大家说过：一本书可以很厚，但基本思想方法不会很多。因此，无论是从思想方法、还是从重要工具的角度，无穷级数的理论都将为我们高等数学的学习带来新的精彩，从而为我们的学习画上一个比较圆满的句号。
　　其实，我们大家对无穷级数并不陌生，我来举两个基本的例子：
　　第一个，不知道大家是否记得，在第一章讲数列极限时，我曾举过《庄子》天下篇中的一个中国古典名例"一尺之棰，日取其半，万世不竭"。记得当时我还曾跟大家开过玩笑，说："人生太短暂，做不了太多的事情。"但是，当我们有了极限的工具之后，我们却可以站在有限、把握无穷。这或许就是数学的魅力！
　　现在我们换一个角度来看这个问题：
　　① ；这是我们看出来的，不是我们算出来的，因为这是无穷多项和的形式。
　　如果是： 那么，各位：谁能告诉我，这个和是什么？
　　②大家都认识，如果现在我问：是什么？大家将作何回答？在中学大家就使用过数学用表，求过的近似值，知道这些数学用表是怎样造出来的吗？想知道吗？实际上，真正的数学定义应该是：，。实际上，我们中学的数学用表，就是取了这个无限和的前三项就可以造出来。现在，无论你是在计算器上、还是在计算机里，你所得到的的值都不过是这个无穷和的有限项的代数和，而且可以达到任意高的精确度。这是什么？这就是"函数的逼近"！我们将在第四节之后向大家做完整的交待。
　　此外，如果从物理学的观点来看，把一个复杂的运动分解为一系列基本的简谐运动的叠加形式，这是近代物理中分析处理问题时一个很基本的思想方法。在第七节讨论傅立叶级数时，大家将会看到，比如：在无线电技术中的矩形波函数，就可以用一系列正弦波的叠加来无限的逼近。这是后话。
　　实际上，在现代科学技术当中，级数理论以其非常重要的基础地位而成为现代数学方法中非常重要的数学工具。所以，很多有关这方面的问题，我们都将在这一章当中得到完满的回答！