三角形的等积变换

三角形的等积变形

【知识点与基本方法】

1.全等形：如果两个平面图形叠合在一起，能够处处重合，则称这两个图形为全等形。 2.等积形：面积相等的两个图形称为等积形。

3．把一个封闭的图形分成若干部分，则这个图形的面积等于分成的所有各个部分面积的总和。

4.三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。前三条是等积变形理论的基础，同时也为我们计算某些图形的面积提供了方法。 5.三角形面积计算公式： S 底 高 2

6.三角形的等积变形中常用的几个重要结论： (1)平行线间的距离处处相等. (2)等底等高的两个三角形面积相等.

(3)底在同一条直线上并且相等，他们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形的面积相等.

(4)若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍.

(5)若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一条直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条边上，则这几个三角形的面积相等.

【例题精讲】

例1：用三种不同的方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.

方法一：如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF和△AFC等积.

方法二：如图1-b先将BC两等分，连AD，得到两个等积的三角形△ADC和△ABD，再取AD的中点E，连BE，CE，可将这两个等积的三角形分成两个等积的三角形. 方法三：先将BC四等分,即BD=

14

BC，连AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD=

1AD,

所得的四个三角形△ABD、

△CFD、△CEF和△CEA等积.(如图1-c)

1-a

例2：（如图４）已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米。请问图中阴影部分的面积是多少平方分米？ 解：连接ＦＤ．

S AFD

12

AD FG，S FDC

12

DC FE，由于ＡＤ＝ＤＣ，ＦＧ＝ＦＥ，

1-b

C

1-C

图4

所以S AFD S FDC，

而△ＦＨＤ是它们的公共部分，因此，△ＦＨＤ是它们的公共部分，因此，△ＡＨＤ与△ＨＣＤ的面积相等． 可得 S AFC S AHC S HCD S ADC

12S正方形

ABCD

12

64 32(平方分米).

例３．如图５，正方形ＡＢＣＤ的变长为８厘米，长方形ＥＢＧＦ的长为ＢＧ为１０厘米．求长方形的宽．

分析：长方形的长知，为求长方形的宽，须知长方形的面积．问题转化为如何从已知正方形的面积（８×８＝６４（平方厘米））来寻长方形的面积．为此，连接ＡＧ．

在正方形ＡＢＣＤ中，△ＡＢＧ的底和高分别为正方形边ＡＢ与ＢＣ．所以，它的面积是正方形ＡＢＣＤ面积的一半．同样，在长方形ＥＢＧＦ中，三角形ＡＢＧ的底为长方形的长ＢＧ，高为长方形的宽ＥＢ，所以它的面积也是长方形ＥＢＧＦ面积的一半．由此说明长方形ＥＢＧＦ的面积与正方形的面积相等．即长方形ＥＢＧＦ的面积也为６