数值分析期末复习总结

1.求二次差值多项式：（1）lagrange法：x0,f(x0)...; l0(x)

2(x x1)(x x2)...; (x0 x1)(x0 x2)

L2(x) f(xk)lk(x);(2)Newton法：x0,f(x0)...; f x0,x1 ,f x0,x2 ,f x0,x1,x2

k 0

N2 f(x0) f x0,x1 (x x0) f x0,x1,x2 (x x0)(x x1).

n 1h 2.求积分：（1）复化梯形公式：Tn f(a) 2 f(xk) f(b) ;(2)Simpson公式：2 k 1

n 1n 11 h xSn f(a) 4 f(x1) 2 f(xk) f(b) ;(3)例题：求 n 4.解：a 0, 20k+6 4+xk 0k 12

b 1,h (b a)/n 1/4,xk a kh k/4 T4 0.11089;S4 0.11157.

3.写出Romberg:(1)Sn=(4/3)T2n (1/3)Tn,Cn=(16/15)S2n (1/15)Sn,Rn=(64/63)C2n (1/63)Cn;

(2)例题：T1=1.685，T2=1.265，T4=1.16，T8=1.1375，求R1.解：C1 1.1273，C2 1.125 R1 (64/63)C2 (1/63)C1 1.12496.{牛顿法，抛物线法，悬截法均为超线性收敛。}

4.用三点公式求f(x) 1/(1 x)2在x=1.0，1.11.2，处的导数值，并估计误差.解：（1）由带

‘3‘余项的三点求导公式 f（x0）=h/2 3f（x0） 4f（x1）-f（x2） ）；f（x1）= (h2/3)f（

3‘3h/2 f（x0） f（x2） ）；f（x2）=h/2 f（x0）-4f（x1）+3f（x2） ）； -(h2/6)f（ (h2/3)f（

‘又因为f（x0）=0.2500，f（x1）=0.2268，f（x2）=0.2066；h=0.1 f（x0） 0.247,

‘‘3f（x1）= 0.217,f（x2） 0.187;(2)因为f(x) 1/(1 x)2 f（x）=-24/(1 x)5,又x 1.0，1.2

333 f（ 0.75R（x0 (h2/3)f（ 2.5 10 3;R（x1 (h2/6)f（ 3 1.25 10 3;R（x2 (h2/3)f（ 2.5 10 3

5.改进的欧拉方法公式：(1)yp yn h(yn 2xn/yn);yc yn h(yp 2xn+1/yp); yn+1 (1/2) (yp yc);(2)例题1. y1 x2 x-y,y(0)=0 ，取步长h 0.1,计算y(0.5).解：x1 0.1,y1 0.0055;y2 0.0219;y3 0.0501;y4 0.0911;x5 0.5,y5 0.1451;

(3)例题2. y1 y 2x/y,y(0)=1 ，取步长h 0.1,计算y(0.5).解：由三点公式 x0 0，y0=1； yp 1.1,yc 1.093; y1 1.0965;y2 1.1841;1.2662;1.3434;1.4164。

6.用牛顿法，弦截法求根.（1）牛顿法:xk+1 xk f(xk)/f1(xk);弦截法:xk+1 xk {f(xk)/ f(xk) f(xk-1) } xk xk-1 ;(2)例题1.求f(x)=x3 3x 1 0在x0=2附近的根。解：牛顿法f(x) f1(x)；x0=2 x1=1.8889，x2=1.879；弦截法x0=2，x1=1.9 f(x0)=1，f(x1)=0.159 x2=1.8811，f(x2)=0.013 x3=1.879