数值分析重点

数值分析重点

第一章 误差分析

近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差/有效数字

1、 有效数字的判断

定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。 几个重点结论： （1）、设数 x 的近似值可以表示为 x* 0. 1 2 n 10m

其中 m 是整数,αi ( i=1,2, …, n) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为

1

x x* 10m n

2 （不超过其末尾数的半个单位） 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。 （2）、相对误差与有效数字的关系（误差：精确值与近似值的差值） * 0. 1 2 n 10m 1. 2 3 n 10m 1 1 10m 1x

1*

x x 10m n

2

得到相对误差限 1

10m n*

x x1 er(x) 10 (n 1)

*m 1x 1 102 1

2.误差的分类：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差） 3.误差算法设计应注意的问题 ： （1）、避免两个相近的数相减

考虑能否改变一下算法 （2）、防止大数“吃掉”小数

当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。 （3）、绝对值太小的数不宜作除数 考虑能否改变一下算法 （4）、注意简化计算程序，减少计算次数 （5）、选用数值稳定性好的算法 4、误差的传播：

Taylor展开式：f( x1 , x2 ,…, xn)在(x1*, x2*,…, xn* )的展开：

e(y) = f( x1 , x2 ,…, xn)-f(x1*, x2*,…, xn* )

f f f f f f

(x1 x1) (x2 x2) (xn xn) xe(x1) xe(x2) xe(xn)

12n x1 x2 xn

f

fx k(x1,x2, ,xn)(k 1,2, ,n) xk

例如：ε

e(y)

k 1

n

f

(xk) xk

（x1+x2）=ε(x1)+ε(x2)