数学奥赛辅导 第一讲 奇数、偶数、质数、合数

简要介绍数学奥赛辅导 第一讲 奇数、偶数、质数、合数的主要内容,以获得更多的关注

数学奥赛辅导 第一讲

奇数、偶数、质数、合数

知识、方法、技能

Ⅰ.整数的奇偶性

将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.奇、偶数具有如下性质：

（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；

奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；

奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；

（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）.

（3）任何一个正整数n，都可以写成n 2l的形式，其中m为非负整数，l为奇数. 这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.

Ⅱ.质数与合数、算术基本定理

大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.

一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.

显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.

定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A可以写成标准分解式：

aaaA p11 p22 pnn （*）. m

其中p1 p2 pn,pi为质数， i为非负整数，i=1，2， ，n.

【略证】由于A为一有限正整数，显然A经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.

设另有A q1 1 q22 qnm,其中q1 q2 qm,qj为质数， i为非负整数，j=1，

2， ，m.由于任何一pi必为qj中之一，而任一qj也必居pi中之一，故n=m.又因 p1 p2 pn,q1 q2 qn,则有pi qi(i 1,2, ,n)，再者，若对某个i， i i（不妨设 i i），用pii除等式p12p21 pnn p11 p22 pnn两端得：

n 1p1 pi i i pn p11 pi 1 i 1 aaa pi 1 i 1 n pn.