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第三讲 充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 【例题求解】
【例1】 已知 、 是方程x2 x 1 0的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2)的值为 ．
的非对称式，思路点拨 所求代数式为 、通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例
【例2】如果a、b都是质数，且a2 13a m 0，b2 13b m 0，那么 A．
123125125123
B．或2 C． D．或2 22222222
ba
的值为( ) ab
思路点拨 可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x2 13x m 0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用x1+x2、x1x2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；
(2)根据根的定义降次； (3)构造对称式．
m2
【例3】 已知关于x的方程：x (m 2)x 0
4
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
2
(2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2 x1 2，求m的值及相应的x1、x2．
思路点拨 对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手．
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