高考数学三角形四心与向量典型问题分析

三角形四心与向量的典型问题分析

一、“重心”的向量风采

【命题1】 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA GB GC 0，则G是△ABC的重心．如图⑴.

A'

A

图⑴ 图⑵

【命题2】 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA (AB AC)，

(0， )，则P的轨迹一定通过△ABC的重心.

所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵. 二、“垂心”的向量风采

【解析】 由题意AP (AB AC)，当 (0， )时，由于 (AB AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，

【命题3】 P是△ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P是△ABC的垂心．

【解析】 由PA PB PB PC，得PB (PA PC

PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.

即PBCA所以PB⊥CA．同理可证PC⊥AB， 0，) 0，

图⑶

图⑷

A

，C是平面上不共线的三个点，动点P满足【命题4】 已知O是平面上一定点，A，B

ABAC

， (0，OP O A )，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．

AcosBACco sC

ABACABAC BC 0， ，由于 【解析】 由题意AP ABcosB ABcosBACcosC ACcosC

AB BCAC BC

BC CB 0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的即ABcosBACcosC

直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷. 三、“内心”的向量风采

【命题5】 已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB c，AC b，BC a ．若aIA bIB cIC 0，则I是

△

ABC

图⑹ 图⑸

【解析】 ∵IB IA AB，IC IA AC，则由题意得(a b c)IA bAB cAC 0，

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