柯西不等式强化训练答案

柯西不等式

柯西不等式强化训练

21、 已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－c≤1. 3

解：∵a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1. 知5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0.

2∴a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 解之得－≤c≤1. 3由柯西不等式(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2

2、 已知x≤0，且满足3x＋4y＝13，求x2＋4y2的最小值．

13－3x2错解：由柯西不等式可知： ∴x2＋4y2＝x2＋(2y)2＝x2＋) 222222(3＋2)[x＋(2y)]≥(3x＋4y)＝169.

132∴13(x2＋4y2)≥169. ＝(x－6x＋13) 4∴x2＋4y2≥13. 1313∴x2＋4y2的最小值为13. ＝[(x－3)2＋4]＝(x－3)2＋13. 44错解分析：本题错误的原因在于应用柯西不等又∵x≤0， 式解题时忽视了公式中等号成立的条件．事实上等22∴当x＝0时，(x＋4y)min 号成立需满足三点：①x≤0；②3x＋4y＝13；③131693×2y＝2x，即x＝3y.解②③得x＝3，显然不满足＝×(0－3)2＋13＝. 44x≤0. 169∴x2＋4y2的最小值为正解：∵3x＋4y＝13， 413－3x∴2y＝， 2

a2b2c2

练习1、(2010年高考浙江卷)设正实数a，b，c，满足abc≥1.求＋的最小值． a＋2bb＋2cc＋2a

证明：因为

a2b2c2≥1 (＋＋a＋2b)＋(b＋2c)＋(ca＋2bb＋2cc＋2a当a＝b＝c＝1，上述不等式取等号，

a2b2c2＋2a)] 所以＋的最小值是1. a＋2bb＋2cc＋2a≥(a＋b＋c)2

a＋b＋ca2b2c2

所以＋＋≥≥abc3a＋2bb＋2cc＋2a

2、2．已知非负实数x，y，z满足x＋ay＋(1－a)z＝1，其中0＜a＜1，设t＝x2＋ay2＋(1－a)z2

(1)求t的最小值；

(2)当t＝1时，求x的取值范围．

1解：(1)∵0＜a＜1，由柯西不等式得， 因此t的最小值为2[x2＋(ay)2＋(1－az)2][12＋(a)2＋(2)∵0＜a＜1，由柯西不等式得， 1－a)2] [(ay)2＋(1－az)2][(a)2＋(1－a)2]≥[ay＋≥[x＋ay＋(1－a)z]2＝1， (1－a)z]2， 1－azxay222∴2t≥1 [ay＋(1－a)z]≥[ay＋(1－a)z]， 1a1－a22∴1－x≥(1－x)， 1∴0≤x≤1. 即x＝y＝z＝ 2

3、(2009年高考浙江卷)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.

x2y2z21(1)求证：＋； y＋2zz＋2xx＋2y3

(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．

(1)证明：因为x＞0，y＞0，z＞0， 又因为x＋y＋z＝1，所以

x2y2z2所以由柯西不等式得 ＋＋y＋2zz＋2xx＋2yx2y2

[(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)][＋＋2y＋2zz＋2x x＋y＋z 12≥z y＋2z ＋ z＋2x ＋ x＋2y 32≥(x＋y＋z) x＋2y(2)解：由均值不等式得