高中数学数列通项公式的常用求法

高中数学数列通项公式的常用求法

数列通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 2例1．等差数列

an 是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5 a5．求数列 an 的通项公式.

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法

若已知数列的前n项和S与a 的通项a S1 n 1

nn的关系，求数列 ann可用公式an Sn

S求解。

n 1 n 2例2．已知数列 a的前n项和S( 1)n

n n满足Sn 2an ,n 1．求数列 an 的通项公式。

点评：利用公式a Sn n 1

n S S求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

nn 1 n 2

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为an 1 an f(n) 解法：把原递推公式转化为an 1 an f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。已知数列

an 中,a1 1,且a2k a2k 1 ( 1)k,a2k 1 a2k 3k,其中k 1,2,3, ，求数列 an 的通项公式。

（高考题）例3. 已知数列

a1

n 满足a11 2，an 1 an

n2

n

，求an。 类型2 （1）递推公式为an 1

n 1 f(n)an 解法：把原递推公式转化为

aa f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n

已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+ +(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项（高考题）

a

1n 1n ___n 2

例4. 已知数列 an 满足a1 2，an 1

n

3n 1

an，求an。 （2）．由an 1

f(n)an和a1确定的递推数列 an 的通项可如下求得：

由已知递推式有an

f(n 1)an 1， an 1 f(n 2)an 2， ，a2 f(1)a1依次向前代入，得

a) f(1)an 1

n f(n 1)f(n 21，简记为an (k 1

f(k))a1 (n 1,k 1

f(k) 1)，这就是叠（迭）代法的基本模式。（3）递推式：an 1 pan f n 解法：只需构造数列 bn ，消去f n 带来的差异．

例5．设数列

an ：a1 4,an 3an 1 2n 1,(n 2)，求an.

说明：（1）若

f(n)

为

n

的二次式，则可设

bn an An2 Bn C

;(2)本题an 3an 1 2n 1

,

an 1 3an 2 2(n 1) 1

（

n 3

）两式相减得

an an 1 3(an 1 an 2)bn pbn 1 q求之.

例6．已知a1 3，an 1

n 1

33n 2

an (n 1)，求an。

也2

可由

转化为