例说离散型函数的最值问题

例说离散型函数的最值问题

例说离散型函数的最值问题

河南省人大附中郑州分校 刘凡 邮编（452370）

（本文发表在2008.5，6 《中学生理科应试》哈师大 P22.）

离散型函数在中学数学中通常是指自变量为正整数的函数，如数列、二项式、概率及随机变量的期望和方差等。本文仅就此类函数中的最值问题予以分类说明。

一 数列的最值问题 例：若数列{an}的通项式为a为第y项，则x

n

22n 22n 1

5() 4(),(n N).{an}

55

的最大项为第x向，最小项

y ____________.

解析：因为a

n

22n 22n 12n 124 2

5() 4(),令u (),(n N),则u 1,,,......,an 5u 4u.

555525 1

则由

u的取值情况可知u

时，an取得最大值，即为数列的第一项。故x

2. x y 3.

1

；当u

25

（由二次

函数的性质）时，an取得最小值，即为第二项，故y

点评：本题在求解数列项的最大、最小值问题时，是通过换元法把原函数化成二次函数

的形式，利用二次函数的图像及性质求解。切记必须注意“自变量”u的取值范围。

例：已知数列{an}中，a解析：由a

nn 156

2

n

nn 156

2

,(n N),

则数列{an}的最大项为____________.

156n

当且仅当n

n

n

1156n

,而当n

N

时，n

n

156n

,即n 156, 当n N

2

时，n 12或13，数列{an}的项取到最大值。

点评：利用关系式的结构特征巧妙变形、转化为均值不等式的结构形式求最大值或项（或最小值或项）是一种常见的方法。但须注意均值不等式的应用条件及n取正整数的性质。

例：已知数列{a

n}中，a项分别为______________.

解析：因为a

n

n

(n N)

，则在数列{an}的前50项中最小项和最大

1

1 n 8 0.数列{an}是递减数

列，此时a8最小；当9

n

50

0,数列{an}仍是递减数列，此时，a9

最大。

点评：适当化简、转化把原函数的关系式变形为可以利用函数的单调性来求解也是一种很重要的方法。应用单调性求解数列项的最大值时，应注意有时必须分类讨论，依据自然数n的取值范围，确定其单调区间，再依据其在对应区间的单调性求出最大、最小值。

例：等差数列{an}的首项a1 0,前n项和为Sn，当l m时，Sl Sm,问n为何值时Sn有最大值。

解析：由题意知Sn

f(n) na1

m

n(n 1)

2

d 0

d2

n (a1

2

d2

)n.此函数是以n为自变量

的二次函数，因为a1 0,当l得x

l m2

时，Sl Sm,故d

即此二次函数开口向下，故由f(l) f(m)

l m2

时，f(x)取得最大值，但由于n N，故若l m为偶数，当n

l m 1

2

时，Sn最大；

当l m为奇数时，n

时，Sn最大。