微分中值定理证明题中辅助函数的构造模式

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杨天琦’牛春霞 (南京信息工程大学电子与信息工程学院南京 2 0 4 2南京化工职业技术学院基础部南京 2 0 4 ) 1 4: 1 0 0 4 1 摘要：分中值定理是高等数学中比较重要的一块内容，微也是比较难的一章。尤其是遇到一些存在性证明时 .往往不能直接运用微分中值定理来证明，需要构造一些辅助函数，通过对微分中值定理证明题常见结论的剖析，提出了辅助函数作法的几种模式，探讨作辅助函数的规律和方法。 关键词：高等数学微分中值定理辅助函数中图分类号： 4 4 1 G . 2 文献标识码： A文章编号： 6 4 0 8 ( 0 8 1 () O 1 - 1 I— 9 X 2 0 ) Ob - 2 0 7 2

在数学中许多看似简单的数学问题， .往往内可导， (= (,且， _ )由罗尔定理知， ),存在 . 蕴含着较高层次的数学理论的再实践问题，如∈(,,,,《一O, )使 } 同理可知，存在南 h:t}使得 0{ 、:,,果能有意将高等数学的原理、思维方法，在平时的学习中加以注意的话，不仅可以开拓我又因为函数 )区间( ' )在 a b内具有二阶导数， 们的视野，还可体会用高等数学的原理、方所以函数 )在岛j上连续， . )在 内可法解决问题时，高临下，居驾轻取熟的感觉。导，,} 且 f F O再一次由罗尔定理知，微分中值定理是高等数学中比较重要的一块存在 f毒 )使得 ( )},为 , :(因内容，通常来说也是比较难的一章。尤其是 ( 0(三 t J故在区间(,3至少存在 , X X) 内遇到一些存在性证明时 .往往不能直接运用微点，得 f (1使≤=0。 分中值定理来证明，需要构造一些辅助函数， 本例结论比较简单，因为已知函数满足罗 通过对这个辅助函数做一系列的分析、变尔中值定理的条件，故不须构造辅助函数，直形、化简、求导等得到结论中的形式 .而一接应用中值定理即可。但一些比较复杂的结般来说这个辅助函数是不容易做的。文中通论则必须构造辅助函

数，看 F:请例 过对微分中值定理证明题常见结论的剖析，提例 2已知 ) O l在【,】内连续， 0 1在(,)内可出了辅助函数作法的几种模式，探讨作辅助函导，对任意 k,>l有 j￡ l, ;陡数的规律和方法。 求证：《0使得= 一一 i 1,耜》。 证明：构造辅助函数，娃黼扭l因为， 1微分中值定理的内容及其相互关系 i ),】 f 0l x在【内连续， 微分中值定理是高等数学中重要的定理， 所以靠~…在[,】续， ', 0l内连由定积其内容如下： 分中值定理可知，在， I,得存 ' 1 使罗尔中值定理：如果函数 y Jx满足以下 ￣),_… 】} t一i §《 t ” 条件：闭区间，】在 6上连续；在开区间(,内口 )可导；d= ) . ) 6,, ( 故 ) f l罗尔定理， l《 l在l t 上用则 3 ,《 则至少存在一点{' I使得 f。。》”㈣ o使得￥ 拉格朗日中值定理：如果函数 )满足即( lt t, 0,理后可整以下条件：闭区间【上连续；在 n】,在开区间(, a 得九 h {。} b内可导；至少存在一点 f b,得 )则&}使 上例中已知函数不满足罗尔定理，需要构/ a t), ^…。 建辅助函数，考虑到所要证明的结论是某函数柯西中值定理：如果函数 y S )y gj满 (;= ( x[ )荏某点处的导数为零，因此我们构造函数使其足以下条件：在闭区间，纠上连续；在开区间满足罗尔定理，为“因 ”在已知条 (,)Ⅱ6内可导；对任一秘震 (#O;至 )则件的被积函数中已经出现了，容易想到以此作为辅助函数。 可见：明在某区间上，④满足的条件是证几个定理之间的相互关系是：在拉格朗日 “函数的导数为零或变形化简后导数为零”,中值定理 a= )则拉格朗日中值定理转化 ) 6;我们可根据，}的结构特征，构造符合罗尔定为罗尔定理；在柯西中值定理中令 g )柯 (=, 理条件的函数。而在更一般的题中，构造辅西中值定理转化为拉格朗目中值定理。罗尔助函数比较复杂，可以参考以

下典型模式。 中值定理是拉格朗日中值定理的例；拉格朗日 中值定理是柯西中值定理的特例。 一

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4另一种构造模式 般说来，题设中出现一个函数，用罗则尔定理或拉格朗日理，定出现两个函数用柯西定理。但对于给了两个函数的题，可以通也过构造辅助函数的方法，罗尔定理或拉格朗用日定理解题。从而可以导出另一种构造辅助函数的模式： 设函数 y ) 'g )乜 l=,= (在[ 6上连续；口 ) '在(, 6内可 a 0 g 6=, j∈(,)使得 ) ), ( ) 0则 ab,毽+ {。明：一证令 i} } ,《 一

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所以 F(在 (,)满足罗尔定理， ) a b上故 j礴{。目 《} (一0— 0E n厂I ’S4 1 j第—种模式中辅助函数的构建依赖于 )第二种，则是根据结论的形式构造函数 gx, (再构造辅 )助函数 I}。例顶 已知在【,】 ) 0l内连续， 0 1内可在(, )导，f (0)= 0,求证：l o{使得 《t, t;, (中 k为常数 ) 其 证明：嚣。 x— f取 l,

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结语

微分中值定理在证明题中很重要，在某区 间上证明“函数的导数为零或变形化简后导数为零”时，们可根据厂的结构特征，我 构 3构造辅助函数的典型模式造符合罗尔条件的函数。一般地构造辅助函根据以上讨论，

于某些类型的对设 )在上【 6连续； n ) n】,在(,内可导；,数比较复杂， 6且 2微分中值定理证明题的典型结论 ( ). b 0 a, )。则下列结论成立： I 微分中值定理证明题，以参考以上典型模可般微分中值定理证明题的典型结沦为： ① 《 使得厂 删盖 0(为实式。从而可以像套用公式一样的套用构造辅 I 已知某个满足微分中值定理的函数y f )￣ x在某 i常数 ) 助函数的模式，使灵活多变的辅助函数构造有点的值(常为一个表达式 )然后求证在某区通，章可循。 ②≮《I i“使得宅} 南 H 间上，(‘满足某条件的的存在性。看 i{ ( k为非零常数) 例： l例若函数f ) i在区间(, )具有二阶导 x a b③ 《 q使得厂嘉{ l磊 0参考文献 鑫 数，是￡,且： ),, )其中 (》害为连续函数 ) 【】 l北京大学数学科学学院 .高等数学 .双博士。, i - t x ‘ 证明如下： 课堂【 . M】机械工业出版社， 0 0. 20 求证：在区间(. 3,) X内至少存在一点，使①: 令{, F在【,i满足则 ( )口h上 【】王顺风， 2潘文天，兴东 .杨高等数学[ . M】东得，=0。’ 南大学出版社， 0 4 20 .罗尔定理， 得F} -因为则3使’ 0, i证明：因为 ),,连续，,,在【 】上在( ) 一

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