论微分中值定理证明中辅助函数的构造方法

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科学与研究

论微分中值定理证明中辅助函数的构造方法

□张仁华

（宜春职业技术学院

江西 宜春

３３６０００）

摘要：微分中值定理的证明，是高等数学定理证明中的几个技巧性强的难点之一。本文探讨了现行教科书中微分中值定理证明的思路与方法，阐析了若干易于理解和掌握的辅助函数构造方法。

关键词：微分中值定理辅助函数构造方法中图分类号：Ｃ９１４

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７－３９７３（２００７）１１－０４４－２

微分中值定理包括罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理、拉格朗日（Ｌａ－

ｇｒａｎｇｅ）中值定理与柯西（Ｃａｕｃｈｙ）中值定理，它们在微分学理

论中占有重要地位。微分中值定理给出了函数及其导数之间学好微分中值定理，必须首的联系，是导数应用的理论基础。

先学好定理证明的方法和技巧。目前，现行的教科书中对微分中值定理的证明而引入的辅助函数，学生还不易理解和掌握。本文试图用Ｒｏｌｌｅ定理来证明Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理与明了、易懂。Ｃａｕｃｈｙ中值定理，其证明方法与思路简洁、

为方便起见，下面先叙述罗尔定理，再扼要证明。罗尔定理若函数ｆ（ｘ）满足：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；

（３）在区间［ａ，ｂ］的端点处函数值相等，即ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ（ａ＜ξ＜ｂ），使得ｆ′（ξ）＝０

首先考察定理的几何意义，函数ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）在几何上表示一段曲线弧表现曲线弧

。函数ｆ（ｘ）满足罗尔定理中的三个条件

是连续的。除端点外处处有不垂直于ｘ轴的

，都有ｆ′（ｘ）＝０，即取（ａ，ｂ）内任一点作为ξ（ξ）＝０

（２）Ｍ≠ｍ，由条件（３），ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）知，Ｍ和ｍ这两个数中至少有一个不等于ｆ（ａ）及ｆ（ｂ），不妨设Ｍ≠ｆ（ａ）。则在（ａ，ｂ）内至少有一点ξ，使ｆ（ξ）＝Ｍ。即ｆ（ξ）是函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上的最大值，故在ξ的邻域内恒有ｆ（ｘ）≤ｆ（ξ）。现证ｆ′（ξ）＝０

任取△ｘ使ξ的邻域内，由假设知ｆ（ξ＋△ｘ落在ξ＋△ｘ）≤ｆ（ξ）．由此有当△ｘ＞０时，≤０

△ｘ＜０≥０

令△ｘ→０取极限，由左、右导数的定义及极限的局部保号性，得

ｆ＋′（ξ）＝ｆ－′（ξ）＝≤０

≥０

由条件（２），ｆ（ｘ）在点ξ可导，故ｆ′（ξ）＝ｆ′＋（ξ）＝ｆ′－（ξ）＝０

切线且弦ＡＢ是水平的（图１）。定理的结论表明，在弧上上至少存在一点Ｃ（ξ，ｆ（ξ）），在该点处曲线的切线也是水平的，即切线平行于弦。

１拉格朗日中值定理证明的探讨

拉格朗日中值定理若函数ｆ（ｘ）满足：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ（ａ＜ξ＜ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）（１）

图２

首先分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的联系，拉格朗日中值定理将罗尔定理中的条件（３）取消，相应的结论可改写为

ｆ′（ξ）＝

图１

从图１中容易看出曲线上的最高点或最低点处，曲线的切线是水平的，即函数ｆ（ｘ）取最大值或最小值的点处，函数的导数为零。这一事实给我们提示了证明该定理的思路。

罗尔定理的证明：

由于函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，根据闭区间上连续函数的性质知，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得它的最大值Ｍ和最小值

上式等号右端恰为过曲线弧

：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）的端

。若除端点

点Ａ（ａ，ｆ（ａ）），Ｂ（ｂ，ｆ（ｂ））的弦ＡＢ的斜率（图２）。因此，拉格朗日中值定理在几何上仍表示一条连续曲线弧外处处有不垂直于ｘ轴的切线，则在弦，就是罗尔定理所描述的情况。

上式等号右边经

为常数，不妨假设它为

上至少存在一点Ｃ

（ξ，ｆ（ξ）），使曲线在点Ｃ处的切线平行于ＡＢ，若ＡＢ为水平

常数ｋ，即ｋ＝，于是有ｆ（ｂ）－ｋｂ＝ｆ（ａ）－ｋａ，这个等ｍ，于是会出现下面两种情况：

（１）Ｍ＝ｍ，此时ｆ（ｘ）恒取常数值Ｍ，即ｆ（ｘ）＝Ｍ，因此必有ｆ′式的两边正好分别是函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｋｘ在端点ｂ和ａ处的函

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科协论坛 ２００７年第１１期（下）