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（1975年于德意志民主共和国的居斯特罗）
0【题1】一根杆以恒定的角速度ω绕竖直轴旋转，杆与轴的夹角为（90－α）。质量为
m的质点可以沿杆滑动，摩擦系数为μ 。求转动过程中，质点保
持在同一高度的条件（如图8.1）。
解：我们发现，采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如
果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值，就称这个角ε为“滑动
摩擦角”（如解图8.1所示），即tan ε＝μ
我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线
之间的夹角在滑动摩擦角之内，则摩擦力大到足以阻止运动。极
限情形是合力与摩擦角的一臂重合。 对于本题，当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况
时，合力应位于（α＋ε）角的双臂内（如解图8.2所示）。 图8.1
解图8.1 解图8.2
22把质点压在杆上的力是重力mg与mωr＝mωLcosα的合力。故质点在向上滑动的极限
情形下，角（α＋ε）的正切为
m 2Lcos 2Lcos tan( ) mgg
同理，质点向下滑动的极限情形可用角（α＋ε）的正切得到。
于是，如果tan( － ) 600450300
150 2Lcos g tan( )
则质点在旋转杆上处于平衡。
从边界条件可以看出，存在着一个较高位置（Lf）和一个0.3m0.10.2
较低位置（La），质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇
解图8.3
平衡状态。在这两边界之外，质点无法平衡，质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置
Lf－La可由边界条件导出：
Lf La 2gtan 2322 cos (1 tan tan )
解图8.3对不同的α角，画出质点在杆上哪些部分处于随遇
-10平衡，（取ω＝10 s，μ＝0.268，ε＝15）。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。
【题2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件，并就不同类型的透镜讨论可行
性。
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