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例5
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
解析
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为
1
，解得a ．所以抛物线的解析式为y a(x 1)(x 4)，代入点C的 坐标（0，－2）
2
115
y (x 1)(x 4) x2 x 2．
222
1
（2）设点P的坐标为(x, (x 1)(x 4))．
2
1
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM (x 1)(x 4)，AM 4 x．
2
1
(x 1)(x 4)
AMAO如果 2，那么 2．解得x 5不合题意．
PMCO4 x
1
(x 1)(x 4)
AMAO11如果 ，那么 ．解得x 2．
PMCO24 x2
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM
1
(x 1)(x 4)，AM x 4． 2
1
(x 1)(x 4)
解方程 2，得x 5．此时点P的坐标为(5, 2)．
x 41
(x 1)(x 4)
1解方程 ，得x 2不合题意．
x 42
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