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例1 直线y
1
x 1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°3
2
后得到△COD，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、C、D三点．
(1) 写出点A、B、C、D的坐标；
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
解析
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
2
（2）因为抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以
9a 3b c 0, a 1, 解得 c 3, b 2, a b c 0. c 3.
所以抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，顶点G的坐标为(1，4)．
（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)
，那么BQ ． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当
2
2
BQ
3 3．解得x 3．所以Q1(3,10)，Q2( 3, 8)． BABQ11111．解得
x ．所以Q3(,2)，Q4( ,0)． BA33333②当
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