几个微分中值定理之异同——从罗尔定理到泰勒定理

第３４卷

Ｖ０１．３４第６期Ｎｏ．６西南师范大学学报（自然科学版）２００９年１２月２００９ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．文章编号：１０００—５４７１（２００９）０６—０１９６—０４

几个微分中值定理之异同

——从罗尔定理到泰勒定理

闵兰１，陈晓敏２

１．成都理工大学信息管理学院，成都６１００５９；２．成都电子机械高等专科学校信息与计算科学系，成都６１００３１

摘要：要深刻地了解函数的性质，就必须进一步研究可导函数与其导数之间的关系．微分中值定理就深刻地揭示了它们的内在联系．微分中值定理是微分学教学的重点和难点．从理论上、形式结构上、定理的证明上等方面分析了几个微分中值定理的异同，揭示了微分中值定理在微分学中的重要地位和理论价值．

关键词：微分中值定理；函数ｌ构造辅助函数

中图分类号：文献标识码：Ａ

要深刻地了解函数的性质，就必须进一步研究可导函数与其导数之间的关系．

导数的定义就是描述函数在某一处的瞬时变化（率）状态．因此，函数的导数与其本身之间就存在着一定的关系．微分中值定理就深刻地揭示了它们的内在联系．

微分中值定理是微分学教学的重点和难点．微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理的统称．它们有如下几个共同点．

１．在理论上，函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点ｅ（即中值），使得在此点的函数与导数在区间上存在着某种特定的等式联系．

微分中值定理是微分学的重要理论基础；也是微分学研究函数性态的重要定理；它是沟通函数及其导数之间的桥梁；是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具．通常应用导数研究函数的性质都要直接借助于中值定理，特别是导数的许多重要应用都是建立在中值定理的基础上；许多理论性的证明都要用到中值定理．拉格朗日中值定理（也称为有限增量定理）在整个高等数学的教学中处于十分重要的地位．故学习中值定理要时刻把握定理的条件、结论、几何解释、证明方法、各定理之间的联系和应用等．通常，中值定理中中值ｅ的值不易求出，即中值车的准确值常不易知道，但其存在性是肯定的且不影响定理的应用价值和理论研究．

２．在形式结构上，罗尔定理是中值定理的基础．

罗尔定理的几何意义是：如果每一点都有切线的连续曲线Ｙ＝，（ｚ），在Ａ，Ｂ两点有相同的纵坐标，则Ａ，Ｂ之间至少存在一点（车，厂（车）），使得曲线在点（｝，／（Ｏ）处有水平切线．

拉格朗日中值定理给出了用一个导数值与自变量增量之积准确地表达函数增量的公式

ａｙ＝／（ｚ＋必ｚ）Ａｘ０＜口＜１

它的几何意义是：在每一点都有切线的连续弧段ＡＢ上，至少存在一点（搴，ｆ（Ｏ），在点（ｅ，ｆ（Ｏ）处曲线的切线平行于弦丽（图１），由此可知，它是罗尔定理的推广．利用它可以研究函数在某一区间的几何性质，如单调性、凹凸性和极值等．又如利用它可以证明一个函数假定它的导数值在某一区间内恒为零，则该函数在该区间内必为一常数．

收稿日期：２００９—０６—２３

作者简介：闵兰（１９６４一），女．ＩⅡＨＪｌ成都人，副教授，主要从事应用敷学，高等数学教学与研究．