广州市第47中学高二数学竞赛辅导讲义 PAGE 9

应 用 题 专 题

[重 点]

1. 与函数、方程、不等式有关的应用问题

2. 与数列有关的应用问题

[难 点]提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。

[考点概述]

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。

高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。

一、求解应用题的一般步骤：

1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)

2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。

3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。

4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。

5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。

二、应用题的常见题型及对策

1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型： 常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。

2、与数列有关的问题：常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。

3、与空间图形有关的问题：常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。

4、与直线、圆锥曲线有关的题型：常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。

5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型：常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。

6、与排列、组合有关的问题：运用排列、组合等知识解决

7、与概率、统计有关的应用问题：这是近几年高考(新课程卷)的重点、热点，是必考内容，主要用概率公式和排列组合知识。

对常规型应用题，可使用下列“解题表”：（一）通读全题，初步估计本题属于哪种数学模型；（二）目标是什么?未知是什么?（三）清理题目中所有量：有哪些是已知量?哪些是未知量?哪些是常量?哪些是变量?是否需要设置新的量?（四）能否画个示意图?列个表?（五）条件中有哪些基本关系?是相等关系，还是不等关系？（六）涉及这些关系有哪些数学知识?能否将（三）中的量代入使之成为方程或不等式?（七）能否将上面的代数式化简?能否通过解方程或解不等式求出未知量?（八）完成并检验全题．

[例题与练习]

1．如图1，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）．