第十二讲方程与函数(2014年初中数学培优提高)

第十二讲 方程与函数

方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将已知与未知联系起来,建立方程或方程组,然后运用方程的知识使问题得以解决的方法;函数描述了自然界中量与量之间的依存关系,函数思想的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题.转化为函数关系去解决.

方程与函数联系密切,我们可以用方程思想解决函数问题,也可以用函数思想讨论方程问题,在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时,常将问题转化为解方程或方程组;而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时,借助函数图象能获得直观简捷的解答.

【例题求解】

【例1】 若关于的方程 x mx有解,则实数m的取值范围 .

思路点拨 可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数y x,y mx函数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定m的取值范围.

【例2】设关于x的方程ax2 (a 2)x 9a 0有两个不相等的实数根x1,x2 ,且x1<1<x2,那么a取值范围是

( )

22222 A. a B.a C.a D. a 0 117575

思路点拨 因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函数与x轴的交点满足x1<1<x2的a的值,注意判别式的隐含制约.

【例3】 已知抛物线y x2 (1 2a)x a2 0 (a 0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)( x1≠x2).

(1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧;

(2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB＝OC一2,求a的值.

思路点拨 x1、x2是方程x2 (1 2a)x a2 0的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点.

15【例4】 抛物线y x2 2(m )x 2(m 1)与y轴的正半轴交于点C,与x轴交于A、B两点,并且点B在24

A的右边,△ABC的面积是△OAC面积的3倍.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)判断△OBC与△OCA是否相似,并说明理由.

思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系,这是解本例的关键.对于(1),建立关于m的等式,求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论.

【例5】 已知抛物线y x2 px q上有一点M(,y0)位于x轴下方.

(1)求证:此抛物线与轴交于两点;

(2)设此抛物线与x轴的交点为A(x1,0),B(,0),且x1 <x2,求证:x1 <x0<x2.

思路点拨 对于(1),即要证p2 4q 0;对于(2),即要证(x0 x1)(x0 x2) 0.

注:(1)抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨,需综合运用判别式、韦达定理等知识.

(2)对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基本步骤是:在直角坐标系中作出对应函数图象,由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组.

(3) 一个关于二次函数图象的命题:已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象与x轴交于A(x1,0),B(,0)两点,顶点为C.

①△ABC是直角三角形的充要条件是:△=b2 4ac 4.

②△ABC是等边三角形的充要条件是:△=b2 4ac 12

学历训练

1.已知关于x的函数y (m 6)x2 2(m 1)x m 1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是2.已知抛物线y x2 (k 1)x 3k 2与x轴交于A ( ,0),B( ,0)两点,且 2 2 17,则k .

23.已知二次函数y=kx+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结论:①当x=－2

2时,y=l;②当x>x2,时,y>O;③方程kx+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<－l,x2>－l;

⑤