函数的单调性复习

高考数学函数的单调性复习

判断增函数、减函数的方法：

①定义法：一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 x2时，都有f x1 f x2 〔或都有f x1 f x2 〕，那么就说f(x)在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义：⑴

f x1 f x2 f x1 f x2 0， 0〕则说f(x)在〔或都有

x1 x2x1 x2

这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点

x1,f x1 , x2,f x2 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵ x1 x2 f x1 f x2 0，〔或都有 x1 x2 f x1 f x2 0〕则说f(x)在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果f` x 0那么就说f(x)在这个区间上是增函数；如果f` x 0那么就说f(x)在这个区间上是减函数；（注意：只对于给定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法）

③复合函数单调性的根据：设y f u ,u g x ,x a,b ,u m,n 都是单调函数，则y f g x 在 a,b 上也是单调函数。

（ⅰ）y f u 是 m,n 上的增函数，则y f g x 与u g x 的增减性相同； （ⅱ若y f u 是 m,n 上的减函数，则y f g x 的增减性与u g x 的增减性相反。

④几个与函数单调性相关的结论：

（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数； （ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。 ⑤函数奇偶性与单调性质的重要关系：

奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。

⑥如果y f x 在某个区间D上是增函数（或减函数），那么y f x 在区间D的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）。

⑦互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

】 （2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

xA. y x,x R B. y sinx,x R C. y x,x R D. y (),x R

3

2006年北京卷理）已知f x 么a的取值范围是C

（A）(0,1)

3a 1 x 4a, x 1

是( , )上的减函数，那

x 1 logax,

1

2

（B）(0,) （C）[,)

131173

（D）[,1)（类同北京文4）

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【考点分析】本题考查分段函数、函数的单调性质，基础题。 解析：要使f x 为 , 上的减函数，必须满足两个段的函数都是减函数且第一支的最小值必须大于第二支的最大值，即

11 ， a a

3a 1 033 11

0 a 1 0 a 1 a 0 a 1

73 logx 3a 1 x 4a 3a 1 4a 0 1a a

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