立体几何需注重结论与模型的学习

立体几何需注重结论与模型的学习 卢建武

多年的实际情况表明：高中的学生初学立体几何时，总感觉比较困难，甚至不知如何学起，这当然与刚接触新生事物需有一个适应的过程有关，这是客观规律，但若几个月之后，还只是停留在记住了书上的公理、定理、推论上，而在应用方面没有大的突破，那就不是单纯的适应不适应的问题了，而是会不会学习的问题了.

笔者认为：除了要记住课本上本身的公理、定理、推论并能基本运用外，适当地记住些常见的结论和模型，对我们解题很有帮助. 现将一些常见的结论和模型罗列如下，希对广大的初学立体几何者和这部分内容学得相对较弱者有所裨益.

一、结论：

1、在四面体P ABC中，设顶点P在底面ABC上的射影为O.

①若PA PB PC或PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，则O为底面 ABC的外心( ABC外接圆的圆心也即 ABC的三边的垂

直平分线的交点)；

②若PA BC，PB AC，则O为底面 ABC的垂心，同时也有

PC AB(即四面体中若有两组对棱相互垂直，则任何顶点在与之相对面

C

上的射影都是该面三角形的垂心，且第三组对棱也相互垂直)；特殊地，

若PA、PB、PC两两垂直，也有一样的结论； ③若O在 ABC的内部，且P到 ABC的三边的距离相等或侧面PAB、PBC、PAC与底面所成的二面角相等，则O为底面 ABC的内心( ABC的内切圆的圆心也即 ABC三条内角平

分线的交点)；在运用这个结论时需注意：若没有O在 ABC的内部这一限制，则O还可能是 ABC的旁心( ABC的旁切圆的圆心也即 ABC的两条外角平分线和一条内角平分线的交点).

2、设 BAC在平面 内，点P ，若 PAB PAC(或P到 BAC的两边AB、AC的距离相等)，则点P在平面 内的射影O在 BAC的平分线所

在的直线上.

如图，连PO，分别作OD AB于D，OE AC于E，

连PD、

PE，则由三垂线定理知PD AB，PE AC. 在Rt PAD和Rt PAE中，由 PAD PAE，

PD AD，PE AE，PA为公共斜边知它们全等，所以

PD PE，

从而OD OE，又OD ABOE，AC ，所以OA

O

在 BAC的平分线所在的直线上.

C

3、若两个平面垂直，则其中一个面内的任意一条直线在另一个平面上的射影必在两个平面的交线上. 这个结论有助于我们去寻找一条直线与一个平面所成的角，倘有这条直线在一个与这个平面垂直的平面内，则它与两个平面的交线所成的角就是直线和平面所成的角.

4、直线和平面所成的角是直线和平面内所有直线所成角中

最小的角.

证明如下：如图，PA与平面 斜交于A，PO 于O，则AO为PA在 内的射影， PAO为直线PA与平面 所成的

角，AC为 内过A的任意一条直线，作OC AC于C，连PC，

则由三垂线定理知PC AC，在 PAO与 PAC中，O

C

sin PAOPOPA，si nPAPC

PA

，而PO PC(当且仅当AO、AC重合时取等号)，所以sin PAO sin PAC，即 PAO PAC，结论得证.

5、长方体ABCD A1B1C1D1中，设体对角线BD1与从同一顶

D点出发的三条棱所成的角分别为 、

、 ，则C1

co2 s

c2o s

2

c ；o若sBDA1与从同一顶点出发的三个面所1

1

C

成的角分别为 、

、 ，则cos2 cos2 cos2 2.

二、模型

1、设二面角 l 的大小为 ，A、

B l，AC ，BD ，AC l，BD l，且AB d，AC ，mB D. 这是一个包含有二面角的平面角、两条异面直线的公垂线(距离)、其上任意两点间的距离、所成的角等诸多条件的模型. 如图：

C

作AE

//BD，连DE，则由题意知：四边形ABDE为矩形， CAE为二面角 l 的平面角 ，因为AB//D，EB//D，ABA EAC，AB BD，由线面垂直的判定定理知DE 平面CAE，所以DE CE，故AB、CD所成的角为 CDE.

由余弦定理得CE2 AC2 AE2 2AC AEcos CAE m2 n2 2mncos ，所

以

CD，且异面直线AB、

CD所成角

CDE的余弦为cos CDE

DECD

这个模型告诉我们：若两条异面直线分别在一个二面角的两个面内且都和二面角的棱垂直，

则可以很方便地求出它们上面任意两定点间的距离，这任意两点的连线与二面角的棱所成的角；若反过来考虑，还可在知道两条异面直线上两点间距离的条件下，求出二面角的平面角(

利用公式

CD)；另外，在这个模型中，还存在线面的垂直和面

面的垂直(DE 平面CAE，平面CDE 平面CAE).

实战演练：在平面直角坐标系内有两点，它们的坐标分别为A 3，2 、B 2， 3 ，现将坐

标系沿y轴折成120 的二面角，求折后A、

B两

点间的距离.

由模型易得 CDA为二面角的平面角120 ，BC 平面CDA，所以BC CA，由模