八年级数学竞赛讲座二次根式的化简求值附答案

初中数学竞赛讲座

第八讲 二次根式的化简求值

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．

有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．

例题求解 【例l】已知x

1x

2，那么

xx2 3x 1

xx2 9x 1

的值等于 ．

(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)

思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x

1

的代数式表示． x

【例2】 满足等式xy yx 2003x 2003y 2003xy 2003的正整数对(x，y)的个数是( ) A．1 B．2 C． 3 D． 4 (全国初中数学联赛题)

思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 【例3】已知a、b是实数，且( a2 a)( b2 b) 1，问a、b之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编)

思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．

x2 x 6x 3x 2 x2 4x

2 【例4】 已知：x (0<a<1)，求代数式的值．

2xx 2xax 2 x 4

1

(四川省中考题)

思路点拨 视x 2,x2 4x为整体，把x a 0<a1的制约．

【例5】 (1)设a、b、c、d为正实数，a<b，c<d，bc>ad，有一个三角形的三边长分别为a2 c2b2 d2，

(b a)2 (d c)2，求此三角形的面积；

1a

平方，移项用含a代数式表示x 2,x2 4x，注意

( “五羊杯”竞赛题)