高中数学必修1(人教A版)第一章集合与函数概念1-4

高中数学必修1(人教A版)第一章集合与函数的概念 知识点总结 含同步练习题及答案

高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第一章集合与函数概念 1.4函数的对称性和周期性(补充)

一、学习任务结合具体函数，了解函数对称性和周期性的含义.二、知识清单 函数的对称性函数的周期性

三、知识讲解 1.函数的对称性描述：函数关于直线 x= a对称若函数 y= f (x)的定义域 I关于 a对称，且对定义域 I内的任意一个自变量 x,都有 f (x)= f (2a x),那么函数 y= f (x)关于直线 x= a对称.此时直线 x= a是函数 y= f (x)的对称轴.二次函数的对称性二次函数 f (x)= ax 2+ bx+ c(a≠ 0)的图象关于直线 x=

f (x)= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的对称轴是 x=

函数关于点 (a, b)对称若函数 y= f (x)的定义域 I关于 a对称，且对定义域 I内的任意一个自变量 x,都有 f (x)= 2b f (2a x),那么函数 y= f (x)关于点 (a, b)对称.例题：已知函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，且 y= f (x)的图象关于直线 x= 1对称，则 ______. f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=解：因为 f (x)是定义在 R上的奇函数，所以 f ( x)= f (x),f (0)= 0 . 1又 y= f (x)的图象关于直线 x=对称，所以 2

b . 2a

b对称.也即二次函数 2a

2

f(

1 1+ x)= f ( x), 2 2

即 f (x+ 1)= f ( x),且 f (1)= f (0)= 0,f (2)= f ( 1)= 0.因为 f (x+ 1)= f ( x)= f (x),即

f (x+ 2)= f (x), 故函数 y= f (x)的周期是 2,所以 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= 0 .