探究抛物线的焦点弦性质_一堂利用_几何画板_进行课堂整合的案例

2007年第2期　　　　　　　　　　　　　数学教学研究21

即　x2-2xy+y2=x2+2xy+y2+(　),故(　)内应填-4xy.

“类比”是数学学科在教学中比较常用的教学策略,它不但可以帮助学生理解概念,掌握规律,寻求

正确的解题方法,而且还能培养学生分析问题、解决问题的能力,希望同学们在学习中要有意识的去应用.

探究抛物线的焦点弦性质

———一堂利用《几何画板》进行课堂整合的案例

陈　荣

(浙江师范大学数理学院,金华321004)

　　探究导入　今天我们利用《几何画板》一起来探索抛物线焦点弦的相关性质.电脑桌面上的“抛物线.gsp”文件,22px(p>0),F?

y=2px,

2

()y-2pmy-p=0.

2

2

my=x-

2

消去x得

,

①

2

A,作过A、

F两点的直线,,然后打开

24

y则yAyB=-p,推出yB=-,而xB==2=yA2p2pyA

2

“作图”,执行“交点”命令,但是“交点”命令是灰色,操作没有成功.

教师:《几何画板》给我们学习带来了很多帮助,但是有时《几何画板》也会有脾气,不听话,今天她就跟我们开了一个玩笑,不让我们通过“交点”命令来找到点B.下面请大家思考,怎样才能描出点B呢?

学生1:度量出A、F两点的坐标,然后求出直线

AF的方程,联立抛物线方程,通过解方程组求出点B

),这样就可以,则点B坐标为,-2

4xAyA4pxA4xA

4222

方便找出点B.

学生动手操作:先度量出点A的坐标,利用《几何画板》的计算器得到点B的坐标,然后描出点B,拖动点A,发现点B始终在抛物线上,问题终于得到解决.(学生对这个问题的探究性学习已经首获成果,高兴之余兴趣大增)

教师:从学生2刚才找到点B的方法中,不知不觉地发现了有关A、B两点坐标之间的一个性质:

性质1　xAxB=

2

的具体坐标,就可以作出点B了.

教师:这种方法可以找到点B,但是有两个方面的不足:一是解方程比较烦琐;二是当点A变化一下,点B的坐标又得重新计算.针对学生1方案存在的问题,能否找到解决的办法?

学生2:可以找出A、B两点的坐标关系.设A

(xA,yA)、B(xB,yB),lAF:y=k(x-4

;yAyB=-p.

2

评　几何画板给学生提供了好的探究工具,但是有时看似简单的作图,几何画板却无能为力.本堂课就是利用《几何画板》的“弱点”来展开探究活动,通过运用数学知识来解决《几何画板》中有些作图方面的不足之处,在解决问题的过程中发现了新的性质,同时也为后面的探究活动构建好了软件平台.

探究问题1　在图

1中,拖动点A,观察弦AB的长度的变化情况,

2

),然后联立抛

物线方程消去y,由韦达定理可以找到点A、B的坐标关系.

教师:我们在前面的课中强调过,设直线的点斜式方程时,要注意讨论斜率k不存在的情况.在这个问题中,直线AB的倾斜角θ的范围为0°<θ<180°,所以我们应该分θ是否等于90

°两种情况来分析,那么怎样设直线的方程就能避免讨论呢?

大部分学生:设lAF∶my=x-能否找到什么结论呢?并在作业纸上进行推理论证.

图1

2

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