当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高中教育 > 数学 > 高一数学 > 第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法理科
§3.2 立体几何中的向量方法 (一)
—— 垂直关系的向量证法
知识点一 求平面的法向量
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．
知识点二 利用向量方法证明垂直关系
例一：如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，AP＝BQ＝b (0<b<1)，截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′. (1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
(2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
解 以D为原点，射线DA、DC、DD′分别为x、y、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，由已知得DF＝1－b，故A(1,0,0)，A′(1,0,1)，D(0,0,0)，D′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．
(1)，证明 在所建立的坐标系中,可得PQ = (0,1,0),
PF = ( b , 0, b),PH = (b 1,0,1 b),
AD' = ( 1,0,1),AD = ( 1,0, 1),
因为AD'·PQ = 0，AD'·PF= 0，
所以AD'是平面PQEF的法向量.
因为AD'·PQ = 0，AD'·PH =0，所以AD'
是平面PQGH的法向量.
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.
(2)证明，因为EF= (0, 1,0),所以EF∥PQ, |EF | = |PQ|,
又PF⊥PQ,所以四边形PQEF为矩形,同理四边形PQGH为矩形.
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