解读_错位相减法_的教学价值_余建国

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课堂教学研究

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江苏省南京市大厂高级中学(2 1 0 4 ) 1.错位相减法与等比数列菌 . n项和公式 数列中蕴涵着丰富的思想方法.我们把课本中推导等比数列前 n项和公式的方法称为/错位相减法 0,这是高中学习数列求和的一种典型方法.其过程顾名思义:首先是两边同乘以公比 q,并错开书写;其次是两式相减;最后化简.推导过程如下:{a"}是公比为q的等比数列, S"是它的前 n项和, 则 s"= a一+ a Z+ a"+,+ a"= a一+ a 27+ a lg Z+

余建国

师:很好.知道 26 4一1有多大吗? (当然不知道,学生议论纷纷 )经过换算,即使把全世界的麦子都给发 明者,也不够.学生哇声一片.

师:下面我们就一般情况,推导等比数列前 n项和公式.

相比于那些直接推导首项为 a l !公比为 q的等比 数列的前 n项和公式的教学,这个案例能从数学故事出发,在复习了等比数列的定义的同时,故事结果的/出人意料 0给了学生比较强烈的刺激,能够激发学生探究的欲望,起到了较好的教学效果;另外,从先解决一个简单 !具体的等比数列前 n项求和问题人手,再顺其自然地过渡到一般情况,这样的安排有利于于培养学生的自主探索意识.

,+ al" 0一,,所以" s"=" l"+ a.,,+,+ a."卜,+ a, !0, 当叮二 l时, S"= na,;

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当q笋1时,¹一º得(1一q) S"二a l 所以 S"= a l( q 0一l ) o一l

3.错位相减法的数学本质是什么 绝大多数老师可能都认为,上面的教学案例是经典的,本节课应该在剩余的时间内多练习求和公式的使用,在公式推导上能做到这一步已很/奢侈 0.笔者 认为,新课标倡导通过典型案例的分析和学生的自主

2.典里的教学案侧及其分析 问题情境:同学们知道国际象棋吗? .#,在第一个格子里放 1粒麦子,在第 2个格子里放 2粒麦子,在第 3个格子里放 4粒麦子,,依此类推,每个格子中的麦粒数是前面格子中的麦粒数的两倍,直至放满6 4个格 子.一共要放多少粒麦子?

探索 !合作学习,使学生理解数学概念 !结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的数学思想方法,追寻数学发展的历史足迹.所以,上面的教学案例最值得推敲 的一是为什么将和式两边都乘以 2 (或 q)?二是怎么想到两式相减的?当然,这两个问题是相互联系的.

学生讨论:依次写出每个格子中的麦粒数:2 0,2 ., 22,,, 26 3,恰好构成一个等比数列,其中首项为 l,公 比为 2 .

问题为求该数列的前 6 4项和 56 4=2 0+ 2,+ 2,

+

加法运算中,一个数加上另一个数所得的数,如 6+4= 10中, 10是和.因此,求与= 20+ 2,+ 2,+, +护,就是将 6 4项以任意的顺序逐项相加,困难由此产生:加的次数太多.那么数学上怎么处理这样的问题的呢?例如,计算 2+ 2+,+ 2(l0 )个2相加 ),显而 (易见,对于比较多的 !具有某种规律的数求和,转化为乘法来解决是求和方法之一但无任什么方法,正如前面推导等差数列前 n项和的/逆序相加 0一样,其本 质是化简.因此,笔者认为,和是一个运算结果,也是

,+ 26 3.»师:如何求和呢?能逐项相加吗? (学生愕然,老师

继续引导 )如果将»式两边同乘以 2,得 2 s !=2. 22+ 23+,+ 2/ .

¼

同学们观察»¼,比较它们的异同 (老师在板书 时,有意识地将两式写在上下位置,并使下面的等式 右端向右错开一项) .

生;¼一»,可得 s,= 2/一2 0= 26 4一1.