例谈巧添辅助线,构造相似三角形 范婷洁

例谈巧添辅助线，构造相似三角形

乳源县乳源中学 范婷洁

内容摘要：相似三角形是近年来中考、竞赛的主要考点之一，是几何、函数知识的连接扭带，是开启综合性探究题的金钥匙；同时它又是学生学习数学的主要难点之一，因此引导学生掌握构造相似三角形的技巧显得尤为重要。本文分别从四边形、圆、抛物线等图形中结合例题进行阐述添加辅助线构造相似三角形的技巧。

关键词：相似三角形 辅助线 构造 技巧

相似三角形是空间与图形中的重要内容，是研究其他图形的重要工具，而具有广泛地应用，它还是证明角相等和求线段长度的重要依据；有关问题也是中考、竞赛的主要考点之一。 近年来的中考数学压轴题、竞赛的解答题中，经常出现以几何、函数知识为背景的探索性问题，特别是有关相似三角形的四边形、圆、抛物线等多方面知识，既考查学生的基本运算能力，又考查了学生识图能力、逻辑推理能力和表达能力。若能巧妙添加辅助线,则往往有助于这类问题的迅速解决。因此，构造相似三角形来解决问题是数学解题中的重要方法，而添加辅助线的目的是“构造”满足条件的图形，即“构造相似三角形”。为此，本文就结合例题谈谈怎样构造相似三角形，并运用其性质解决数学问题。

一、在四边形中构造相似三角形

相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。利用这些性质我们可以轻巧地获得求角的大小、线段的长短、面积的多少、两角的关系等问题的解答途径。但是对于一些相关的题没有相似三角形我们又怎么添加辅助线来获取相似三角形呢？

例1 （广东省2009年初中毕业生学业考试模拟题） 如图1，M为正方形ABCD的边AB上的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N.求证：MN=MD。