第十二届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答

48数学通报 2009年 第48卷 第5期

第十二届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答

2009年3月22日

1.(满分16分)目前,电脑液晶显示屏的宽高比一般为4 3、16 9和16 10等标准.4 3的为普屏,16 9的为小宽屏,16 10的为宽屏.r寸液晶显示屏是指对角线长为r英寸(in),1英寸 25.4mm.

液晶显示屏还有两个常见的技术指标:最佳分辨率,点距.最佳分辨率就是最高分辨率,在这个分辨率下,每个液晶单元负责显示一个像素.点距是指每个液晶单元中心到相邻液晶单元中心的距离.在最高分辨率下,液晶的点距就是相邻像素间的距离.

一般认为,每个像素在0.25~0.30mm之间人眼觉得比较舒服,所以液晶的标准点距都在这一范围.请回答以下问题:

(1)常用的19寸宽屏的电脑液晶显示屏的宽为多少?高为多少?

(2)为了在电脑液晶显示屏上清晰地看 高清的图像(分辨率为1920 1080像素) ,应选择普屏、小宽屏、宽屏中的哪一种?多少寸合适?说明理由.

解 (1)19寸宽屏对角线长度为482.6mm,设高度为a,因为宽屏的宽高比为16 10,所以宽度b=a5

2

当点距为0.30mm时,宽约为1920 0.30=576(mm);高约为1080 0.30=324(mm);对角线长约为661mm,约为26in.

故应该选择大约在22~26寸之间的 小宽屏 或 宽屏 . 16分

2.(满分16分)2008年10月央行宣布,存量房贷可以享受7折优惠利率.如果某人以等额本息还款方式(即借款人每月以相等的金额偿还贷款本息)贷款买房,在2008年10月27日之前享受的是8.5折优惠,商业贷款5年以上的年利率是5.94%,存量房贷为a,贷款期还有8年零1个月.当他成功申请到7折优惠利率后,每月还款额是多少?比8.5折优惠时每月少还多少?注:存量房贷是指2008年10月27日房贷新政策出台前发放的个人住房贷款中尚未还清的部分.

解 设月均还款额为d,r为月利率,令Ck为第k个月末还款后的本息余额.则

C1=a(1+r)-d,

C2=[a(1+r)-d](1+r)-d=a(1+r)-d(1+r)-d=a(1+r)-[(1+r)+1]d,

C3=[a(1+r)-[(1+r)+1]d](1+r)-d=a(1+r)3-[(1+r)2+(1+r)+1]d,一般地,Ck=a(1+r)-i (1+r)d=a(1=0

+r)-d.r

k

k

k

k-1

i

222

2222

a,又因为a+b=482.6,所以,a+5

=482.62,得a=255.7775,b=409.244.

即宽为409.244mm,高为255.7775mm. 8分

(2)由1920:1080 16 9应选择 小宽屏 ,或 宽屏 .选择点距在0.25~0.30mm之间的液晶显示屏产品.

当点距为0.25mm时,宽约为1920 0.25=480(mm);高约为1080 0.25=270(mm);对角根据题意,当k=n时,Cn=0,于是

nd=a.

(1+r)n-1

已知贷款期还有n=97个月,月利率为.8分