第十二届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答

2009年 第48卷 第5期

=4.158% 12=0.3465%,得

数学通报49

你设计一个方案,使得办公楼的占地面积最大,面向南的楼面面积尽量大,并加以证明.

97

ad=(1+0.003465)-1=

a=0.01213a.

1.4-1

12分

若延续8.5折优惠还款,这时的月利率为r=5.94% 0.85 12=0.42%.得

97d=a=0.0126a.

(1+0.0042)97-114分

利率的7折优惠比8.5折优惠每月少还0 00047a.

16分

3.(满分16分)在队列操练中,通过口令: 立正 、 向右转 、 向后转 、 向左转 操练队列朝向的转换.连续执行两个口令得到的结果可以理解为两个转向的叠加,例如,向右转+向右转=向后转,向右转+向后转=向左转.如果分别用数0、1、2、3表示立正、向右转、向后转、向左转,两个转向的叠加就可以用数的运算表示,例如, 向右转+向后转=向左转 可以表示为 1+2=3 ,我们称其为代数形式.请列出队列转向叠加的所有代数形式,并指出它与我们熟悉的整数的加法运算有什么异同.

立定0

立定0右转1后转2左转3

0123

右转11230

后转22301

左转33012

图2图1

解 如图2设置办公楼BCDE,其中点B在以A为圆心半径为40米的圆上.

设 BAF= ,矩形BCDE的面积为S.S=BE BC=(80-40cos )(80-40sin )

=402(2-cos )(2-sin )=402(4-2cos -2sin +sin cos )0 2

=4-2(sin +cos )+sin cos 402

=4-2(sin +cos )+(2sin cos +1)-22=4-2(sin +cos )+==

(sin +cos )2-22

解 所有的叠加的结果为上图.

10分

这个运算与整数的加法运算不同

,因为表中右下角的六个运算的结果不是相加的结果.

它与整数加法相似之处是这个 加法 对于{0,1,2,3}这四个数是封闭的,而且同样满足交换律和结合律.16分

4.(满分16分)如图1,一块边长80米的正方形场地,其中一角处被一个半径为30米的圆形街心花园的四分之一占去,某单位要在这块场地中盖一座南北朝向、高度一定的矩形办公楼,要求办公楼与街心花园的最近距离不得小于10米,请

(sin +cos )2-4(sin +cos )++22

(sin +cos )-2

2

+

2

=2

+4-2+

2

2

2

所以,S=40

2

+-2

4

2

+28分.4

由于图形的对称性,不妨先考虑0