初二数学竞赛辅导资料(15)13980

－CM）　　　　　　　　　
　　　　＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　则c+n=b+m， c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　∴c2-b2=m2-n2， (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
　　　　　(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
　　　　　(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
　　　　　∵c+b>m+n， ∴c-b=0 即c=b
　　　　　∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
　　求证：AC＞BD
　　证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
　　ACDE和BCDF都是平行四边形
　　∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　
　　DE＝，BD＝
　　∴DE＞BD
　　即AC＞BD
例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b，且SEFGH＝
　　求：的值
（2001年希望杯数学邀请赛，初二）
解：根据勾股定理　　　　
　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①　
∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②
① －②得　（a-b）2=　　　　∴＝
练习
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
① 252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，
③＝＿＿＿，④＝＿＿＿
3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高．那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
　且BD＝BF，CD＝CE