高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何）

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即

|PF|

e(0<e<1). d

第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

x2y2

1 (a>b>0)， a2b2

x acos

参数方程为 （ 为参数）。

y bsin

若焦点在y轴上，列标准方程为

y2y2

1 (a>b>0)。 a2b2

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

x2y2

2 1， 2ab

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别

a2为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为x ，

cca2

与右焦点对应的准线为x ；定义中的比e称为离心率，且e ，由c2+b2=a2知0<e<1.

ac

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

x2y2

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2 2 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x,

ab

y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.

5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为

x0xy0y

2 1； a2b