用柯西中值定理证明积分中值定理

第 2 5卷第 1 2期 No 1 . 2 Vo1 2 . 5

内江师范学院学报 J OUR NAI oFNE JAN NO II G RMALUNI VER I STY

1 1

用柯西中值定理证明积分中值定理 王凡彬 (内江师范学院数学与信息科学学院/四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川内江 6 1 0 )/ 4 10

摘

要：了建立柯西中值定理与积分中值定理两类不同性质的中值定理的关系，用柯西中值定理证明了为利

积分中值定理 .定积分情形下，用积分上限函数和柯西中值定理证明了积分中值定理；重积分情形下，用在利在利积分上限函数、西中值定理和区域函数的概念证明了积分中值定理 .步建立了两类不同性质的中值定理的关柯初 系.

关键词：西中值定理；分中值定理；柯积区域函数 中图分类号： 7 O1 2文献标志码： A文章编号：6 1 7 5( 0 0 1 1 7—1 8 2 1 ) 2—0 1—0 01 3

柯西中值定理和积分中值定理 1]人们已经很],。熟悉了.这两个定理，数学分析的理论与应用，对有着很重要的意义，们一直在讨论它们并进行了推人 广，得到了一些较好的结果 _8但从目前的研究也 5_ _.

证明

设

F ,￡g d, ( ) g f t ( )一 I (㈤)t G ) I ) ) ( ' 一 ( , d √ d √ n

由于 - ) g( )[,]连续， F( ) G(在厂 (, z在 d6上则 z, )[,]上连续、 n6可微，且 G( )一 I ) x≠ 0 6 g( d,G( )= 0&, 即 G( a)≠ G ( . 6)

状态来看，者之间的关系，们还没有进行探讨 .二人 到目前为止，人们认为二者是没有关系的，至认为甚 二者是风马牛不相及的.文从独特的角度看问题，本 利用柯西中值定理证明了积分中值定理，立了两建

类不同性质的中值定理中间的关系，到了很好的得 结果，也是本文的重要特色之一 .文分为两个部这本

分，分别在定积分和重积分情形来讨论问题 . 1定积分情形下的结果

由柯西中值定理，少存在一点 E

(,)使得至 n6,

G) (一￡鬻 G) (, (一 a G ) 6 ’ 即

㈦…

定理 l设函数厂 ) g 1在闭区间[,]上 (,( ) z n6 连续，且 r^

l ) x≠ 0 g( d, J d

J g 妇 f z f () b zd g √Ⅱ

一

,\ 、 ( g(,, ) )

g )‘ (

则至少存在一点 E (,)使得口6,

当 g ≠ o时，得 ()即

f ( d一 g ),㈩ (’ g) 当 g ()≠ o时，即得

J d

r( g ): (f( d‘ ) d, )g ) ., ( z b z’ J a

在积分中值定理中，般要求 g )[,]上一 (在 n6

I ( ) ( )x一/ r ( )x f g d b 厂 ()f z d I 】 g .

可积，同号 .“且但同号”这一条件过强 .上面的定在 ( 2)

J

“

J n

理 1中，有要求 g )同号，就大大放宽了条件 .没 (这

收稿日期： 0 0 1 -4 2 1— i 1

基金项目：江师范学院重点科研项目( 9 J - 1; I高等学校数值仿真重点实验室重点科研项目( 9 J Z 0 )内 0 N Z )四川省 0 N Z 0 1作者简介：凡彬 ( 7 )男， I王 1 5一，四川富顺人，江师范学院教授 .究方向：微分方程及其应用 . 9内研偏