北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.6

北大版高等数学第一章 函数及极限答案

习题1.6

1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.

证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x) ,

x

limP(x) ,存在A,B,A B,P(A) 0,P(B) 0,P在[A,B]连续,根据连续函数

x

的中间值定理,存在x0 (A,B),使得P(x0) 0.

2.设0 1,证明对于任意一个y0 R,方程y0 x sinx有解,且解是唯一的.证令f(x) x sinx,f( |y0| 1) |y0| 1 |y0| y0,

f(|y0| 1) |y0| 1 |y0| y0,f在[ |y0| 1,|y0| 1]连续,由中间值定理,存在x0 [ |y0| 1,|y0| 1],f(x0) y0.设x2 x1,

f(x2) f(x1) x2 x1 (sinx2 sinx1) x2 x1 |x2 x1| 0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2 (a,b),m1 0,m2 0,证明存在 (a,b)使得f( )

m1f(x1) m2f(x2)

m1 m2

.

证如果f(x1) f(x2),取 x1即可.设f(x1) f(x2),则f(x1)

m1f(x1) m2f(x1)

m1 m2

m1f(x1) m2f(x2)

m1 m2

m1f(x2) m2f(x2)

m1 m2

f(x2),

在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.

4.设y f(x)在[0,1]上连续且0 f(x) 1, x [0,1].证明在存在一点t [0,1]使得f(t) t.

证g(t) f(t) t,g(0) f(0) 0,g(1) f(1) 1 0.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t (0,1),使得g(t) 0,即f(t) t.

5.设y f(x)在[0,2]上连续,且f(0) f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1 x2| 1,且f(x1) f(x2).

证令g(x) f(x 1) f(x),x [0,1].

g(0) f(1) f(0),g(1) f(2) f(1) f(0) f(1) g(0).如果g(0) 0,则f(1) f(0),取x1 0,x2 1.如果g(0) 0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在 (0,1)使得g( ) f( 1) f( ) 0,取x1 ,x2 1.