初中数学竞赛培训九：一元二次方程

初中数学竞赛专题培训 第九讲 一元二次方程

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．

方程ax2

+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．

一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．

对于方程ax2

+bx+c=0(a≠0)，△=b2

-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

当△＜0时，方程无实数根．

分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．

因为

所以

例2 解关于x的方程：

x2-(p2+q2

)x+pq(p+q)(p-q)=0． 解 用十字相乘法分解因式得 [x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0， 所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．

例3 已知方程(2000x)2

-2001×1999x-1=0的较大根为a，方

程x2

+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．

解 由方程(2000x)2

-2001×1999x-1=0得

(20002

x+1)(x-1)=0，

(x+1999)(x-1)=0，

故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以

α-β=1-(-1999)=2000．

例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．

分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变

为

3x-1=4x+1，

所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．

解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0， (x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0， (x-1)(x+2)=0， 所以 x1=1，x2=-2．

例5 解方程：x2

-3｜x｜-4=0．

分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．